Страница 43 номер 4.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.16). Докажите, что прямые \(AA_1\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\) — плоскости нижней грани куба, поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\).
Точка \(A\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(A_1\) ей не принадлежит, поэтому \(AA_1 \cap ABC = A\). Точка \(A\) прямой \(BC\) не принадлежит: \(A\) — вершина квадрата \(ABCD\), не принадлежащая его стороне \(BC\).
Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(BC\). Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(BC\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AA_1\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.16). Докажите, что прямые \(AA_1\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\) — плоскости нижней грани куба, поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\).
Точка \(A\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(A_1\) ей не принадлежит: \(A_1\) — вершина верхней грани куба. Значит, прямая \(AA_1\) в плоскости \(ABC\) не лежит, а общую точку \(A\) с ней имеет, поэтому \(AA_1 \cap ABC = A\).
Точка \(A\) прямой \(BC\) не принадлежит: \(A\) — вершина квадрата \(ABCD\), не принадлежащая его стороне \(BC\).
Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(BC\). Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(BC\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AA_1\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
