Страница 29 номер 3.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости \(EFK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(EF\), и секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(EF\). Аналогично точки \(F\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(DCC_1D_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(FK\).
Прямые \(EF\) и \(BC\) лежат в плоскости \(BCC_1\). Пусть \(M\) — точка их пересечения. Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(M \in ABC\); поскольку \(EF \subset EFK\), то \(M \in EFK\).
Аналогично прямые \(FK\) и \(CD\) лежат в плоскости \(DCC_1\), и их точка пересечения \(N\) принадлежит и плоскости \(ABC\), и плоскости \(EFK\).
Значит, точки \(M\) и \(N\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(EFK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MN\). Прямые \(MN\) и \(AD\) лежат в плоскости основания; пусть \(R\) — точка их пересечения.
Точки \(R\) и \(K\) являются общими для плоскости грани \(ADD_1A_1\) и секущей плоскости: точка \(R\) лежит на прямой \(AD\), точка \(K\) — на ребре \(DD_1\). Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость \(ADD_1\) по прямой \(RK\). Пусть прямая \(RK\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(L\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADD_1A_1\) по отрезку \(KL\).
Точки \(L\) и \(E\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(LE\).
На рисунке видно, что прямая \(MN\) проходит вне квадрата \(ABCD\), поэтому грань \(ABCD\) секущая плоскость не пересекает. Отрезки \(LE\), \(EF\), \(FK\) и \(KL\) образуют замкнутую линию, значит, других сторон у сечения нет.
Значит, четырёхугольник \(LEFK\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(LEFK\) — искомое сечение.
На рёбрах \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости \(EFK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(EF\), и секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(EF\). Аналогично точки \(F\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(DCC_1D_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(FK\).
Найдём линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания \(ABC\).
Прямые \(EF\) и \(BC\) лежат в плоскости \(BCC_1\). Пусть \(M\) — точка их пересечения. Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(M \in ABC\); поскольку \(EF \subset EFK\), то \(M \in EFK\).
Прямые \(FK\) и \(CD\) лежат в плоскости \(DCC_1\). Пусть \(N\) — точка их пересечения. Поскольку \(CD \subset ABC\), то \(N \in ABC\); поскольку \(FK \subset EFK\), то \(N \in EFK\).
Значит, точки \(M\) и \(N\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(EFK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MN\). Прямые \(MN\) и \(AD\) лежат в плоскости основания; пусть \(R\) — точка их пересечения.
Точки \(R\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(ADD_1A_1\): точка \(R\) лежит на прямой \(AD\), точка \(K\) — на ребре \(DD_1\). Эти же точки принадлежат секущей плоскости. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость \(ADD_1\) по прямой \(RK\). Пусть прямая \(RK\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(L\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADD_1A_1\) по отрезку \(KL\).
Точки \(L\) и \(E\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(LE\).
На рисунке видно, что прямая \(MN\) проходит вне квадрата \(ABCD\), поэтому грань \(ABCD\) секущая плоскость не пересекает. Отрезки \(LE\), \(EF\), \(FK\) и \(KL\) образуют замкнутую линию, значит, других сторон у сечения нет и все четыре его вершины лежат на боковых рёбрах куба.
Значит, четырёхугольник \(LEFK\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(LEFK\) — искомое сечение.
