Страница 31 номер 3.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(F\), \(M\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ASB\), \(ASD\) и \(DSC\) пирамиды \(SABCD\) (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(FMK\).
Точки \(S\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\). Так же прямые \(SM\) и \(SK\) принадлежат плоскостям граней \(ASD\) и \(DSC\); пусть они пересекают рёбра \(AD\) и \(DC\) соответственно в точках \(M_1\) и \(K_1\).
Точки \(M\) и \(K\) лежат на прямых \(SM_1\) и \(SK_1\), поэтому точки \(M\), \(K\), \(M_1\), \(K_1\) лежат в одной плоскости \(SM_1K_1\), а отмечены они так, что прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) пересекаются; пусть \(Y\) — точка их пересечения. Аналогично точки \(F\), \(K\), \(F_1\), \(K_1\) лежат в плоскости \(SF_1K_1\); пусть \(Z\) — точка пересечения прямых \(FK\) и \(F_1K_1\).
Прямые \(MK\) и \(FK\) принадлежат секущей плоскости \(FMK\), поэтому точки \(Y\) и \(Z\) принадлежат этой плоскости. Точки \(F_1\), \(M_1\) и \(K_1\) лежат на рёбрах основания, значит, по аксиоме А4 прямые \(M_1K_1\) и \(F_1K_1\) принадлежат плоскости основания, и потому точки \(Y\) и \(Z\) принадлежат и ей. Следовательно, секущая плоскость и плоскость основания пересекаются по прямой \(YZ\). Пусть прямая \(YZ\) пересекает рёбра \(AD\) и \(DC\) соответственно в точках \(E\) и \(T\); тогда секущая плоскость пересекает основание по отрезку \(ET\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат плоскости грани \(ASD\) и секущей плоскости; пусть прямая \(EM\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\), тогда секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(EP\). Так же в грани \(ASB\) прямая \(PF\) пересекает ребро \(SB\) в точке \(Q\), и секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(PQ\), а в грани \(DSC\) прямая \(TK\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(R\), и секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(TR\). Наконец, точки \(Q\) и \(R\) принадлежат плоскости грани \(BSC\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(QR\).
Значит, пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.
Точки \(F\), \(M\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ASB\), \(ASD\) и \(DSC\) пирамиды \(SABCD\) (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(FMK\).
Точки \(S\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\). Так же прямая \(SM\) принадлежит плоскости грани \(ASD\); пусть она пересекает ребро \(AD\) в точке \(M_1\). Прямая \(SK\) принадлежит плоскости грани \(DSC\); пусть она пересекает ребро \(DC\) в точке \(K_1\).
Точки \(M\) и \(K\) лежат соответственно на прямых \(SM_1\) и \(SK_1\), поэтому точки \(M\), \(K\), \(M_1\), \(K_1\) принадлежат плоскости \(SM_1K_1\). Прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в одной плоскости; точки отмечены так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(Y\) — точка их пересечения. Аналогично точки \(F\), \(K\), \(F_1\), \(K_1\) принадлежат плоскости \(SF_1K_1\); пусть \(Z\) — точка пересечения прямых \(FK\) и \(F_1K_1\).
Прямые \(MK\) и \(FK\) принадлежат секущей плоскости \(FMK\), поэтому точки \(Y\) и \(Z\) принадлежат этой плоскости. Точки \(F_1\), \(M_1\) и \(K_1\) лежат на рёбрах основания, значит, по аксиоме А4 прямые \(M_1K_1\) и \(F_1K_1\) принадлежат плоскости основания, и потому точки \(Y\) и \(Z\) принадлежат плоскости основания. Следовательно, секущая плоскость и плоскость основания пересекаются по прямой \(YZ\).
Пусть прямая \(YZ\) пересекает рёбра \(AD\) и \(DC\) соответственно в точках \(E\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает основание по отрезку \(ET\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат плоскости грани \(ASD\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(EM\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(ASD\) по отрезку \(EP\).
Точки \(P\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(PF\) пересекает ребро \(SB\) в точке \(Q\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(ASB\) по отрезку \(PQ\).
Точки \(T\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(DSC\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(TK\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(R\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(DSC\) по отрезку \(TR\). Точки \(Q\) и \(R\) принадлежат плоскости грани \(BSC\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(QR\).
Значит, пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.
