Страница 43 номер 4.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольники \(ABC\) и \(ADB\) лежат в разных плоскостях (рис. 4.17). Каково взаимное расположение прямых \(AD\) и \(BC\)? Ответ обоснуйте.
Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\): иначе все три вершины \(A\), \(D\), \(B\) треугольника \(ADB\) принадлежали бы плоскости \(ABC\), а через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна, поэтому плоскость треугольника \(ADB\) совпала бы с плоскостью \(ABC\), что противоречит условию.
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\).
Точка \(A\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(D\) ей не принадлежит, поэтому \(AD \cap ABC = A\). Точка \(A\) прямой \(BC\) не принадлежит: \(A\), \(B\) и \(C\) — вершины треугольника, они не лежат на одной прямой.
Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AD\) и \(BC\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AD\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
Треугольники \(ABC\) и \(ADB\) лежат в разных плоскостях (рис. 4.17). Каково взаимное расположение прямых \(AD\) и \(BC\)? Ответ обоснуйте.
Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\). Действительно, если бы точка \(D\) принадлежала плоскости \(ABC\), то все три вершины \(A\), \(D\), \(B\) треугольника \(ADB\) принадлежали бы плоскости \(ABC\); но через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна, поэтому плоскость треугольника \(ADB\) совпала бы с плоскостью \(ABC\), а по условию эти треугольники лежат в разных плоскостях.
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\).
Точка \(A\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(D\) ей не принадлежит, поэтому \(AD \cap ABC = A\). Точка \(A\) прямой \(BC\) не принадлежит: \(A\), \(B\) и \(C\) — вершины треугольника, они не лежат на одной прямой.
Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AD\) и \(BC\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AD\) и \(BC\) — скрещивающиеся.
