Страница 30 номер 3.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На боковых рёбрах \(MB\) и \(MC\) пирамиды \(MABCD\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\) (рис. 3.46). Постройте линию пересечения плоскостей \(AEC\) и \(BDF\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются; пусть \(O\) — точка их пересечения. Поскольку \(AC \subset AEC\), то \(O \in AEC\); поскольку \(BD \subset BDF\), то \(O \in BDF\).
Точки \(C\), \(E\), \(B\) и \(F\) принадлежат плоскости \(MBC\) (\(E \in MB\), \(F \in MC\)), значит, по аксиоме А4 прямые \(CE\) и \(BF\) лежат в этой плоскости.
Отрезки \(CE\) и \(BF\) соединяют вершины треугольника \(MBC\) с точками, взятыми на противолежащих сторонах, поэтому они пересекаются. Пусть \(P\) — точка их пересечения. Поскольку \(CE \subset AEC\), то \(P \in AEC\); поскольку \(BF \subset BDF\), то \(P \in BDF\).
Значит, точки \(O\) и \(P\) являются общими для плоскостей \(AEC\) и \(BDF\). Следовательно, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой \(OP\).
Ответ: прямая \(OP\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) основания, а \(P\) — точка пересечения прямых \(CE\) и \(BF\), является линией пересечения плоскостей \(AEC\) и \(BDF\).
На боковых рёбрах \(MB\) и \(MC\) пирамиды \(MABCD\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\) (рис. 3.46). Постройте линию пересечения плоскостей \(AEC\) и \(BDF\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) лежат в плоскости \(ABC\), и прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются. Пусть \(O\) — точка их пересечения. Поскольку \(AC \subset AEC\), то \(O \in AEC\). Поскольку \(BD \subset BDF\), то \(O \in BDF\).
Точки \(C\) и \(E\) принадлежат плоскости \(MBC\) (\(E \in MB\)), значит, по аксиоме А4 прямая \(CE\) принадлежит этой плоскости. Точки \(B\) и \(F\) также принадлежат плоскости \(MBC\) (\(F \in MC\)), поэтому и прямая \(BF\) принадлежит плоскости \(MBC\).
Отрезки \(CE\) и \(BF\) соединяют вершины треугольника \(MBC\) с точками, взятыми на противолежащих сторонах, поэтому они пересекаются. Пусть \(P\) — точка их пересечения. Поскольку \(CE \subset AEC\), то \(P \in AEC\). Поскольку \(BF \subset BDF\), то \(P \in BDF\).
Значит, точки \(O\) и \(P\) являются общими для плоскостей \(AEC\) и \(BDF\). Следовательно, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой \(OP\).
Ответ: прямая \(OP\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) основания, а \(P\) — точка пересечения прямых \(CE\) и \(BF\), является линией пересечения плоскостей \(AEC\) и \(BDF\).
