Страница 43 номер 4.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через точку, не лежащую на прямой \(a\), проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой \(a\). Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая \(a\) являются скрещивающимися.
Пусть прямые \(b\) и \(c\) проходят через точку \(M\), не принадлежащую прямой \(a\). По условию через точку \(M\) проведены две прямые, поэтому прямые \(b\) и \(c\) различны.
Предположим, что ни одна из них не является скрещивающейся с прямой \(a\). Тогда каждая из них лежит с прямой \(a\) в одной плоскости, а общих точек с прямой \(a\) по условию не имеет, значит, по определению параллельных прямых \(b \parallel a\) и \(c \parallel a\).
Но тогда через точку \(M\) проходят две различные прямые, параллельные прямой \(a\), что противоречит теореме: через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Следовательно, хотя бы одна из прямых \(b\) и \(c\) является скрещивающейся с прямой \(a\).
Ответ: хотя бы одна из двух проведённых прямых и прямая \(a\) — скрещивающиеся.
Через точку, не лежащую на прямой \(a\), проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой \(a\). Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая \(a\) являются скрещивающимися.
Пусть прямые \(b\) и \(c\) проходят через точку \(M\), не принадлежащую прямой \(a\), и ни одна из них не имеет с прямой \(a\) общих точек. По условию через точку \(M\) проведены две прямые, поэтому прямые \(b\) и \(c\) различны.
Предположим, что ни одна из прямых \(b\) и \(c\) не является скрещивающейся с прямой \(a\). Тогда каждая из них лежит с прямой \(a\) в одной плоскости, а общих точек с прямой \(a\) по условию не имеет. Значит, по определению параллельных прямых \(b \parallel a\) и \(c \parallel a\).
Получается, что через точку \(M\) проходят две различные прямые, параллельные прямой \(a\). Это противоречит теореме о том, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Следовательно, хотя бы одна из прямых \(b\) и \(c\) является скрещивающейся с прямой \(a\).
Ответ: хотя бы одна из двух проведённых прямых и прямая \(a\) — скрещивающиеся.
