Вопросы после параграфа §24 на странице 117, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона — это числа из соответствующей строки треугольника Паскаля. Нужные строки: строка \(n = 4\) — \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\); строка \(n = 5\) — \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\); строка \(n = 6\) — \(1;\ 6;\ 15;\ 20;\ 15;\ 6;\ 1\).

Показатель степени первого слагаемого двучлена убывает от \(n\) до нуля, показатель второго растёт от нуля до \(n\), а коэффициенты читаются по строке треугольника слева направо:

\[(a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4;\] \[(a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5;\] \[(a + b)^6 = a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6.\]

Ответ: \((a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4\); \((a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5\); \((a + b)^6 = a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6\).

Потому что числа сочетаний и есть коэффициенты формулы бинома Ньютона.

При возведении двучлена \(a + b\) в степень \(n\) раскрываются скобки в произведении \(n\) одинаковых множителей \(a + b\), и каждое слагаемое собирается из \(n\) букв — по одной из каждой скобки. Слагаемое, в котором ровно \(k\) множителей \(a\) и \(n - k\) множителей \(b\), равно \(a^k b^{n-k}\). Заменив мысленно каждый множитель \(a\) единицей, а каждый множитель \(b\) нулём, получаем бинарную последовательность длины \(n\) из \(k\) единиц и \(n - k\) нулей, а таких последовательностей по теореме о числе бинарных последовательностей ровно \(C_n^k\). Значит, все одинаковые слагаемые дают в сумме \(C_n^k a^k b^{n-k}\), то есть коэффициент при \(a^k b^{n-k}\) равен числу сочетаний \(C_n^k\).

Например, в четвёртой строке треугольника Паскаля стоят числа \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\), и они же служат коэффициентами в равенстве \((a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4\): скажем, коэффициент 6 при \(a^2 b^2\) — это число сочетаний \(C_4^2\). Число сочетаний и биномиальный коэффициент — синонимы.

Ответ: потому что числа сочетаний служат коэффициентами в формуле бинома Ньютона: коэффициент при \(a^k b^{n-k}\) равен \(C_n^k\).

Свойство суммы: сумма чисел в \(n\)-й строке треугольника Паскаля равна \(2^n\):

\[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n.\]

Это равенство получается из формулы бинома Ньютона при \(a = 1\) и \(b = 1\): каждое слагаемое тогда равно своему коэффициенту, а вся сумма равна \((1 + 1)^n = 2^n\).

Свойство знакочередующейся суммы: знакочередующаяся сумма чисел в \(n\)-й строке треугольника Паскаля при \(n \geqslant 1\) равна нулю. В такой сумме число \(C_n^k\) берётся со знаком плюс при чётном \(k\) и со знаком минус при нечётном:

\[C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots \mp C_n^{n-1} \pm C_n^n = 0.\]

Это равенство получается из формулы бинома Ньютона при \(a = 1\) и \(b = -1\): чётные степени числа \(-1\) равны 1, нечётные равны \(-1\), поэтому знаки слагаемых чередуются, а вся сумма равна \((1 - 1)^n = 0\). Ограничение \(n \geqslant 1\) существенно: нулевая строка состоит из одного числа 1, и чередовать знаки в ней не с чем.

Например, в пятой строке стоят числа \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\), и для них \(1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5\), а \(1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0\).

Ответ: сумма чисел \(n\)-й строки треугольника Паскаля равна \(2^n\), то есть \(C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n\); знакочередующаяся сумма чисел \(n\)-й строки при \(n \geqslant 1\) равна нулю.

Теорема: если множество \(A\) содержит \(n\) элементов, то количество всех подмножеств множества \(A\) равно \(2^n\). В этот счёт входят и пустое подмножество, и само множество \(A\).

Теорема следует из свойства суммы биномиальных коэффициентов: подмножеств из \(k\) элементов у множества \(A\) ровно \(C_n^k\), поэтому всех подмножеств \(C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n\).

Например, у множества \(\{1,\ 2,\ 3\}\) подмножеств \(2^3 = 8\): \(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{1,\ 2\}\), \(\{1,\ 3\}\), \(\{2,\ 3\}\) и \(\{1,\ 2,\ 3\}\).

Ответ: множество из \(n\) элементов имеет ровно \(2^n\) подмножеств, считая пустое подмножество и само множество.