Страница 118 номер 234, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Чему равен коэффициент при одночлене \(a^3 b^5\) в представлении выражения \((2a - b)^8\) по формуле бинома Ньютона?
Слагаемые двучлена — \(2a\) и \(-b\), показатель степени равен 8. Одночлен со степенями \(a^3 b^5\) получается там, где первое слагаемое взято в третьей степени, поэтому верхний индекс числа сочетаний равен 3:
\[C_8^3 = \frac{8!}{3!\,(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{336}{6} = 56.\] \[C_8^3 (2a)^3 (-b)^5 = 56 \cdot 8a^3 \cdot (-b^5) = -448a^3 b^5.\]
В степень возводится всё первое слагаемое \(2a\) целиком, а знак минус даёт нечётная, пятая степень числа \(-b\).
Ответ: \(-448\).
Чему равен коэффициент при одночлене \(a^3 b^5\) в представлении выражения \((2a - b)^8\) по формуле бинома Ньютона?
В формуле бинома Ньютона роль первого слагаемого двучлена играет \(2a\), роль второго — число \(-b\), показатель степени равен 8.
Одночлен со степенями \(a^3 b^5\) получается там, где первое слагаемое взято в третьей степени, а второе — в пятой. Коэффициент при третьей степени первого слагаемого — это число сочетаний с верхним индексом 3:
\[C_8^3 = \frac{8!}{3!\,(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{336}{6} = 56.\]
Значит, интересующий нас член равен
\[C_8^3 (2a)^3 (-b)^5 = 56 \cdot 8a^3 \cdot (-b^5) = -448a^3 b^5.\]
Множитель \(2^3 = 8\) терять нельзя: в степень возводится всё первое слагаемое \(2a\) целиком, а знак минус даёт нечётная, пятая степень числа \(-b\).
Ответ: \(-448\).
