Страница 118 номер 238, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Коэффициенты слагаемых — числа пятой строки треугольника Паскаля, знаменатели — степени двойки \(2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32\): это формула бинома Ньютона для степени \(\left(\dfrac{1}{2} + 1\right)^5\), прочитанная с конца. Первым слагаемым двучлена служит \(\dfrac{1}{2}\) (его показатель совпадает с верхним индексом числа сочетаний), вторым — единица, все степени которой равны 1.
\[\begin{aligned} &C_5^0 + \frac{C_5^1}{2} + \frac{C_5^2}{4} + \frac{C_5^3}{8} + \frac{C_5^4}{16} + \frac{C_5^5}{32} = {} \\ &= \left(\frac{1}{2} + 1\right)^5 = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}. \end{aligned}\]
б) Коэффициенты — числа той же пятой строки, множители \(243;\ 81;\ 27;\ 9;\ 3;\ 1\) — степени тройки, а знаки чередуются: это формула бинома Ньютона для степени \((3 + (-1))^5\), записанная от члена с наибольшей степенью тройки.
\[\begin{aligned} &243 C_5^5 - 81 C_5^4 + 27 C_5^3 - 9 C_5^2 + 3 C_5^1 - C_5^0 = {} \\ &= (3 - 1)^5 = 2^5 = 32. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\dfrac{243}{32}\); б) 32.
а) В сумме шесть слагаемых, их коэффициенты — числа пятой строки треугольника Паскаля, а знаменатели — степени двойки: \(2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32\). Это формула бинома Ньютона для степени \(\left(\dfrac{1}{2} + 1\right)^5\): первым слагаемым двучлена служит \(\dfrac{1}{2}\) (его показатель совпадает с верхним индексом числа сочетаний), вторым — единица, все степени которой равны 1.
\[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{2} + 1\right)^5 = C_5^5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 + C_5^4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + {} \\ &{}+ C_5^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + C_5^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + C_5^1 \cdot \frac{1}{2} + C_5^0. \end{aligned}\]
Это и есть данное в условии выражение, прочитанное с конца. Значит,
\[\begin{aligned} &C_5^0 + \frac{C_5^1}{2} + \frac{C_5^2}{4} + \frac{C_5^3}{8} + \frac{C_5^4}{16} + \frac{C_5^5}{32} = {} \\ &= \left(\frac{1}{2} + 1\right)^5 = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}. \end{aligned}\]
б) Здесь коэффициенты — числа той же пятой строки, множители \(243;\ 81;\ 27;\ 9;\ 3;\ 1\) — степени тройки, а знаки чередуются. Это формула бинома Ньютона для степени \((3 + (-1))^5\): первым слагаемым двучлена служит 3, вторым \(-1\), и выражение записано ровно в том порядке, в каком печатается формула, — от члена с наибольшей степенью тройки:
\[\begin{aligned} &243 C_5^5 - 81 C_5^4 + 27 C_5^3 - 9 C_5^2 + 3 C_5^1 - C_5^0 = {} \\ &= (3 - 1)^5 = 2^5 = 32. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\dfrac{243}{32}\); б) 32.
