Страница 118 номер 239, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите свойство биномиальных коэффициентов: \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при \(1 \leqslant k \leqslant n\).
Из \(1 \leqslant k \leqslant n\) следует \(0 \leqslant k - 1 \leqslant n - 1\), то есть число сочетаний \(C_{n-1}^{k-1}\) определено и обе части равенства имеют смысл.
Левая часть с учётом равенства \(k! = k \cdot (k-1)!\):
\[k C_n^k = \frac{k \cdot n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{k \cdot n!}{k \cdot (k-1)!\,(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}.\]
Правая часть: в числе \(C_{n-1}^{k-1}\) разность индексов равна \((n - 1) - (k - 1) = n - k\), поэтому \(C_{n-1}^{k-1} = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\), а \(n \cdot (n-1)! = n!\):
\[n C_{n-1}^{k-1} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}.\]
Обе части равны одной и той же дроби \(\dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\), значит, \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при всех \(k\) от 1 до \(n\).
Ответ: равенство \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при \(1 \leqslant k \leqslant n\) доказано.
Докажите свойство биномиальных коэффициентов: \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при \(1 \leqslant k \leqslant n\).
Ограничение \(1 \leqslant k \leqslant n\) нужно для того, чтобы обе части равенства имели смысл: из него следует \(0 \leqslant k - 1 \leqslant n - 1\), то есть число сочетаний \(C_{n-1}^{k-1}\) определено.
Преобразуем левую часть. По формуле числа сочетаний \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), а факториал \(k!\) равен \(k \cdot (k-1)!\), поэтому
\[k C_n^k = \frac{k \cdot n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{k \cdot n!}{k \cdot (k-1)!\,(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}.\]
Преобразуем правую часть. В числе сочетаний \(C_{n-1}^{k-1}\) выбирают \(k - 1\) элемент из \(n - 1\) элементов, а разность индексов равна \((n - 1) - (k - 1) = n - k\), поэтому \(C_{n-1}^{k-1} = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\). Умножив это равенство на \(n\) и воспользовавшись тем, что \(n \cdot (n-1)! = n!\), получаем
\[n C_{n-1}^{k-1} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}.\]
Обе части равны одной и той же дроби \(\dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\), значит, \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при всех \(k\) от 1 до \(n\).
Ответ: равенство \(k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}\) при \(1 \leqslant k \leqslant n\) доказано.
