Страница 115 номер 224, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько существует различных последовательностей, которые можно составить:
а) из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\); б) из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\)?
а) Последовательность из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\) имеет длину \(5 + 4 = 9\). Достаточно выбрать те 5 мест из 9, где будет стоять буква \(a\): на остальных четырёх местах будет стоять буква \(b\), и разным выборам мест отвечают разные последовательности. Вместо мест для буквы \(a\) можно выбирать 4 места для буквы \(b\) — по симметричности \(C_9^5 = C_9^4\): \[C_9^5 = C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4!} = \frac{3024}{24} = 126.\]
б) Последовательность из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\) имеет длину \(3 + 7 = 10\). Выберем из 10 мест те 3, где будет стоять буква \(x\); для буквы \(y\) останутся остальные семь мест: \[C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120.\]
Ответ: а) 126 последовательностей из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\); б) 120 последовательностей из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\).
Сколько существует различных последовательностей, которые можно составить:
а) из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\); б) из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\)?
В обоих пунктах удобно считать не сами последовательности, а места, которые занимает одна из букв.
а) Последовательность состоит из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\), поэтому её длина равна \(5 + 4 = 9\). Представим, что сначала последовательность состоит из 9 пустых мест. Достаточно выбрать те 5 мест, где будет стоять буква \(a\): на остальных четырёх местах будет стоять буква \(b\). Разным выборам мест отвечают разные последовательности, поэтому последовательностей столько, сколько способов выбрать 5 мест из 9. Вместо мест для буквы \(a\) можно было выбирать 4 места для буквы \(b\) — это одно и то же, и по симметричности \(C_9^5 = C_9^4\): \[C_9^5 = C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4!} = \frac{3024}{24} = 126.\]
б) Последовательность состоит из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\), поэтому её длина равна \(3 + 7 = 10\). Выберем из 10 мест те 3, где будет стоять буква \(x\); для буквы \(y\) останутся остальные семь мест. Значит, последовательностей столько, сколько способов выбрать 3 места из 10: \[C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120.\]
Ответ: а) 126 последовательностей из 5 букв \(a\) и 4 букв \(b\); б) 120 последовательностей из 3 букв \(x\) и 7 букв \(y\).
