Вопросы после параграфа §25 на страницах 122-123, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Испытание Бернулли (биномиальное испытание) — случайный опыт ровно с двумя элементарными событиями: одно из них условно называют успехом, другое — неудачей, и названия эти можно поменять местами.
Успех и неудача противоположны, поэтому при вероятности успеха \(p\) вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\).
Например, при бросании монеты элементарных событий два — «выпал орёл» и «выпала решка», и успехом можно назвать любое из них.
Ответ: испытание Бернулли — случайный опыт ровно с двумя элементарными событиями; одно из них называют успехом, другое неудачей, и эти названия можно поменять местами, а их вероятности связаны равенством \(q = 1 - p\).
Монету бросают до первого выпадения орла. Отдельный бросок — испытание Бернулли: у него два элементарных события, «выпал орёл» и «выпала решка»; успех — выпадение орла, тогда \(p = 0{,}5\) и \(q = 0{,}5\).
Броски не влияют друг на друга, а монета не меняется, поэтому испытания независимы и одинаковы, и опыт продолжается до первого успеха.
Ответ: например, монету бросают до первого выпадения орла: каждый бросок — испытание Бернулли с двумя элементарными событиями, а испытания одинаковы и независимы.
Успех был ровно один и случился в последнем, восемнадцатом испытании, а все испытания до него кончились неудачей: \(18 - 1 = 17\) (неудач).
Ответ: 17 неудач.
Элементарное событие такого опыта — бинарная последовательность с единственной единицей на последнем месте: 1, 01, 001, 0001, 00001 и так далее. Каждому натуральному числу \(k\) отвечает своё элементарное событие «успех наступил в испытании с номером \(k\)», а число \(k\) ничем не ограничено.
Ещё одно элементарное событие — бесконечная цепь неудач 0000…, её вероятность равна 0. Значит, элементарных исходов бесконечно много.
Ответ: бесконечно много — по одному элементарному событию на каждое натуральное число \(k\) («успех наступил в испытании с номером \(k\)») и ещё бесконечная цепь неудач.
Неудача — символ 0, успех — символ 1; в записи сначала идут нули, а в конце стоит ровно одна единица.
1 — успех в первом же испытании; 01 — неудача, затем успех; 001 — две неудачи, затем успех; 0001 — три неудачи, затем успех.
Ответ: 1, 01, 001, 0001.
Испытанием Бернулли, или биномиальным испытанием, называют случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий.
Элементарных событий у такого опыта ровно два. Одно из них условно называют успехом, другое — неудачей; названия эти условны, и их можно поменять местами. Успех и неудача — противоположные события, поэтому если вероятность успеха равна \(p\), то вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\).
Например, при бросании монеты элементарных событий два — «выпал орёл» и «выпала решка», и успехом можно назвать любое из них.
Ответ: испытание Бернулли — случайный опыт ровно с двумя элементарными событиями; одно из них называют успехом, другое неудачей, и эти названия можно поменять местами, а их вероятности связаны равенством \(q = 1 - p\).
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Отдельный бросок здесь — испытание Бернулли: у него ровно два элементарных события, «выпал орёл» и «выпала решка». Успехом назовём выпадение орла, тогда \(p = 0{,}5\) и \(q = 0{,}5\).
Броски не влияют друг на друга, а монета от броска к броску не меняется, поэтому испытания независимы и одинаковы: вероятность успеха в каждом из них одна и та же. Значит, опыт и есть последовательность испытаний Бернулли, которая продолжается до первого успеха.
Такими же примерами служат стрельба по мишени до первого попадания и повторные попытки телефона отправить СМС при слабой связи.
Ответ: например, монету бросают до первого выпадения орла: каждый бросок — испытание Бернулли с двумя элементарными событиями, а испытания одинаковы и независимы.
Испытания идут до первого успеха и сразу после него прекращаются. Значит, успех был ровно один и случился он в последнем, восемнадцатом испытании, а все испытания до него кончились неудачей. Неудач было \(18 - 1 = 17\).
То же видно из записи элементарного события бинарной последовательностью: в ней единица стоит на последнем месте и она единственная, а на всех остальных 17 местах стоят нули.
Ответ: 17 неудач.
Бесконечно много.
Элементарное событие такого опыта — бинарная последовательность, в которой единица стоит последней и она единственная: 1, 01, 001, 0001, 00001 и так далее. Каждому натуральному числу \(k\) отвечает своё элементарное событие «успех наступил в испытании с номером \(k\)», а число \(k\) ничем не ограничено: попытки могут продолжаться сколь угодно долго.
Кроме этих событий, в таком опыте рассматривают ещё одно элементарное событие — бесконечную цепь неудач 0000…; его вероятность равна 0.
Ответ: бесконечно много — по одному элементарному событию на каждое натуральное число \(k\) («успех наступил в испытании с номером \(k\)») и ещё бесконечная цепь неудач.
Неудачу обозначают символом 0, успех — символом 1. Элементарное событие записывают бинарной последовательностью, в которой сначала идут нули — неудачные испытания, — а в конце стоит ровно одна единица: тот успех, на котором испытания прекратились.
По этому правилу четыре различных элементарных исхода: 1 — успех в первом же испытании; 01 — неудача, затем успех; 001 — две неудачи, затем успех; 0001 — три неудачи, затем успех.
Ответ: 1, 01, 001, 0001.
