Страница 115 номер 221, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько существует отрезков с концами в данных \(n\) точках (сколько рёбер в полном графе \(K_n\)), если:
а) \(n = 8\); б) \(n = 9\); в) \(n = 12\)?
Отрезок задаётся парой своих концов, ребро полного графа \(K_n\) — парой вершин, поэтому их столько, сколько пар можно составить из \(n\) точек: \(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\).
а) При \(n = 8\) отрезков \(C_8^2 = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = \dfrac{56}{2} = 28\).
б) При \(n = 9\) отрезков \(C_9^2 = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = \dfrac{72}{2} = 36\).
в) При \(n = 12\) отрезков \(C_{12}^2 = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = \dfrac{132}{2} = 66\).
Ответ: а) \(C_8^2 = 28\) отрезков; б) \(C_9^2 = 36\) отрезков; в) \(C_{12}^2 = 66\) отрезков.
Сколько существует отрезков с концами в данных \(n\) точках (сколько рёбер в полном графе \(K_n\)), если:
а) \(n = 8\); б) \(n = 9\); в) \(n = 12\)?
Отрезок задаётся парой своих концов, то есть парой данных точек; ребро полного графа \(K_n\) — это тоже пара вершин. Значит, отрезков столько, сколько пар можно составить из \(n\) точек, то есть \(C_n^2\).
Чтобы найти это число, воспользуемся правилом умножения. Каждая из \(n\) точек соединяется отрезком с \(n-1\) остальными, получается \(n(n-1)\) упорядоченных пар точек. Но отрезок с концами в точках \(X\) и \(Y\) — тот же самый, что отрезок с концами в точках \(Y\) и \(X\), поэтому каждый отрезок сосчитан дважды и полученное число нужно разделить пополам: \[C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}.\]
а) При \(n = 8\) отрезков \(C_8^2 = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = \dfrac{56}{2} = 28\).
б) При \(n = 9\) отрезков \(C_9^2 = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = \dfrac{72}{2} = 36\).
в) При \(n = 12\) отрезков \(C_{12}^2 = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = \dfrac{132}{2} = 66\).
Ответ: а) \(C_8^2 = 28\) отрезков; б) \(C_9^2 = 36\) отрезков; в) \(C_{12}^2 = 66\) отрезков.
