Страница 115 номер 223, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках, если всего точек:
а) 8; б) 15; в) 19; г) \(n\)?
Считаем, что никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, иначе треугольника они не дают. Тогда каждая тройка точек даёт ровно один треугольник, а порядок, в котором выбраны вершины, треугольника не меняет.
Упорядоченных троек по правилу умножения \(n(n-1)(n-2)\), и каждый треугольник среди них встречается \(3! = 6\) раз — столько перестановок трёх его вершин, поэтому треугольников в 6 раз меньше: \[C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.\]
а) При 8 точках треугольников \(\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = \dfrac{336}{6} = 56\).
б) При 15 точках треугольников \(\dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13}{6} = \dfrac{2730}{6} = 455\).
в) При 19 точках треугольников \(\dfrac{19 \cdot 18 \cdot 17}{6} = \dfrac{5814}{6} = 969\).
г) При \(n\) точках треугольников \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\).
Ответ: а) 56 треугольников; б) 455 треугольников; в) 969 треугольников; г) \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\) треугольников.
Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках, если всего точек:
а) 8; б) 15; в) 19; г) \(n\)?
Три точки задают треугольник только тогда, когда они не лежат на одной прямой, поэтому будем считать, что никакие три из данных точек на одной прямой не лежат. Тогда каждая тройка точек даёт ровно один треугольник, разным тройкам отвечают разные треугольники, а порядок, в котором выбраны вершины, треугольника не меняет. Значит, треугольников столько, сколько троек можно выбрать из данных точек.
Посчитаем это число для \(n\) точек. По правилу умножения первую вершину можно выбрать \(n\) способами, вторую — \(n-1\) способами, третью — \(n-2\) способами, и получается \(n(n-1)(n-2)\) упорядоченных троек. Каждый треугольник среди них встречается столько раз, сколько существует перестановок трёх его вершин, то есть \(3! = 6\) раз. Поэтому неупорядоченных троек, а с ними и треугольников, в 6 раз меньше: \[C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.\]
а) При 8 точках треугольников \(\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = \dfrac{336}{6} = 56\).
б) При 15 точках треугольников \(\dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13}{6} = \dfrac{2730}{6} = 455\).
в) При 19 точках треугольников \(\dfrac{19 \cdot 18 \cdot 17}{6} = \dfrac{5814}{6} = 969\).
г) При \(n\) точках треугольников \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\) — это и есть выведенная выше формула.
Ответ: а) 56 треугольников; б) 455 треугольников; в) 969 треугольников; г) \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\) треугольников.
