Страница 118 номер 231, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Преобразуйте степень двучлена в многочлен стандартного вида:
а) \((x + y)^4\); в) \((2x - 1)^5\);
б) \((x - y)^5\); г) \((3x - 2y)^4\).
а) Коэффициенты — числа четвёртой строки треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\).
\[(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4.\]
б) Коэффициенты — числа пятой строки: \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\). Вторым слагаемым двучлена служит \(-y\): чётные степени числа \(-y\) равны соответствующим степеням числа \(y\), нечётные им противоположны, поэтому знаки чередуются, начиная с плюса при \(x^5\).
\[(x - y)^5 = x^5 - 5x^4 y + 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 + 5xy^4 - y^5.\]
в) Слагаемые двучлена — \(2x\) и \(-1\); коэффициенты — числа пятой строки \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\):
\((2x)^5 = 32x^5\);
\(5(2x)^4 \cdot (-1) = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-1) = -80x^4\);
\(10(2x)^3 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3\);
\(10(2x)^2 \cdot (-1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-1) = -40x^2\);
\(5 \cdot 2x \cdot (-1)^4 = 10x\);
\((-1)^5 = -1\).
\[(2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1.\]
г) Слагаемые двучлена — \(3x\) и \(-2y\); коэффициенты — числа четвёртой строки \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\):
\((3x)^4 = 81x^4\);
\(4(3x)^3 \cdot (-2y) = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) = -216x^3 y\);
\(6(3x)^2 \cdot (-2y)^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 216x^2 y^2\);
\(4 \cdot 3x \cdot (-2y)^3 = 12x \cdot (-8y^3) = -96xy^3\);
\((-2y)^4 = 16y^4\).
\[(3x - 2y)^4 = 81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4.\]
Ответ: а) \(x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4\); б) \(x^5 - 5x^4 y + 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 + 5xy^4 - y^5\); в) \(32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\); г) \(81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4\).
Преобразуйте степень двучлена в многочлен стандартного вида:
а) \((x + y)^4\); в) \((2x - 1)^5\);
б) \((x - y)^5\); г) \((3x - 2y)^4\).
а) Коэффициенты — числа четвёртой строки треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\). Показатель степени буквы \(x\) убывает от 4 до нуля, показатель буквы \(y\) растёт от нуля до 4:
\[(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4.\]
б) Коэффициенты — числа пятой строки: \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\). Разность \(x - y\) — это сумма \(x + (-y)\), поэтому вторым слагаемым двучлена служит \(-y\): чётные степени числа \(-y\) равны соответствующим степеням числа \(y\), а нечётные им противоположны, поэтому знаки членов чередуются, начиная с плюса при \(x^5\):
\[(x - y)^5 = x^5 - 5x^4 y + 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 + 5xy^4 - y^5.\]
в) Первое слагаемое двучлена — \(2x\), второе — \(-1\); коэффициенты — числа пятой строки \(1;\ 5;\ 10;\ 10;\ 5;\ 1\). В каждый член входит степень двойки, а степени числа \(-1\) чередуют знак:
\((2x)^5 = 32x^5\);
\(5(2x)^4 \cdot (-1) = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-1) = -80x^4\);
\(10(2x)^3 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3\);
\(10(2x)^2 \cdot (-1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-1) = -40x^2\);
\(5 \cdot 2x \cdot (-1)^4 = 10x\);
\((-1)^5 = -1\).
Значит,
\[(2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1.\]
г) Первое слагаемое двучлена — \(3x\), второе — \(-2y\); коэффициенты — числа четвёртой строки \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\). В степень возводятся оба числовых множителя — и тройка, и двойка:
\((3x)^4 = 81x^4\);
\(4(3x)^3 \cdot (-2y) = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) = -216x^3 y\);
\(6(3x)^2 \cdot (-2y)^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 216x^2 y^2\);
\(4 \cdot 3x \cdot (-2y)^3 = 12x \cdot (-8y^3) = -96xy^3\);
\((-2y)^4 = 16y^4\).
Значит,
\[(3x - 2y)^4 = 81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4.\]
Ответ: а) \(x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4\); б) \(x^5 - 5x^4 y + 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 + 5xy^4 - y^5\); в) \(32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\); г) \(81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4\).
