Страница 118 номер 235, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите коэффициент при \(x^4\) в представлении в стандартном виде многочлена:
а) \((x + 3)^6\); в) \((x - 2)^8 + (x + 2)^8\);
б) \((2x - 3)^5\); г) \((x - 1)^6 - (x + 1)^6\).
Коэффициент при \(x^4\) — это число сочетаний с верхним индексом 4.
а) Слагаемые двучлена — \(x\) и 3, показатель 6; член с \(x^4\) равен \(C_6^4 x^4 \cdot 3^2\).
\(C_6^4 = \dfrac{6!}{4!\,2!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15\).
\(15 \cdot 9 = 135\) — коэффициент при \(x^4\).
б) Слагаемые двучлена — \(2x\) и \(-3\), показатель 5; в четвёртую степень возводится и двойка при \(x\).
\(C_5^4 = \dfrac{5!}{4!\,1!} = 5\).
\[C_5^4 (2x)^4 \cdot (-3) = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-3) = -240x^4.\]
Коэффициент равен \(-240\).
в) Коэффициент суммы равен сумме коэффициентов слагаемых, а число сочетаний у них одно и то же: \(C_8^4 = \dfrac{8!}{4!\,4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = 70\).
В степени \((x - 2)^8\) член с \(x^4\) равен \(C_8^4 x^4 (-2)^4 = 70 \cdot 16x^4 = 1120x^4\).
В степени \((x + 2)^8\) он равен \(C_8^4 x^4 \cdot 2^4 = 1120x^4\): показатель \(8 - 4 = 4\) чётный, поэтому \((-2)^4 = 2^4\).
\(1120 + 1120 = 2240\) — коэффициент при \(x^4\).
г) В степени \((x - 1)^6\) член с \(x^4\) равен \(C_6^4 x^4 (-1)^2 = 15x^4\).
В степени \((x + 1)^6\) он равен \(C_6^4 x^4 \cdot 1^2 = 15x^4\): показатель \(6 - 4 = 2\) чётный, поэтому \((-1)^2 = 1^2\).
Второй коэффициент вычитается из первого: \(15 - 15 = 0\).
Ответ: а) 135; б) \(-240\); в) 2240; г) 0.
Найдите коэффициент при \(x^4\) в представлении в стандартном виде многочлена:
а) \((x + 3)^6\); в) \((x - 2)^8 + (x + 2)^8\);
б) \((2x - 3)^5\); г) \((x - 1)^6 - (x + 1)^6\).
Во всех пунктах ищется коэффициент при \(x^4\), то есть коэффициент при той степени, в которой взято первое слагаемое двучлена. В формуле бинома Ньютона он равен числу сочетаний с верхним индексом 4.
а) Первое слагаемое двучлена — \(x\), второе — число 3, показатель степени равен 6. Член с \(x^4\) равен \(C_6^4 x^4 \cdot 3^2\), причём \(C_6^4 = \dfrac{6!}{4!\,2!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15\), поэтому коэффициент равен \(15 \cdot 9 = 135\).
б) Первое слагаемое двучлена — \(2x\), второе — число \(-3\), показатель степени равен 5; число сочетаний \(C_5^4 = \dfrac{5!}{4!\,1!} = 5\). Здесь в четвёртую степень возводится и двойка при \(x\):
\[C_5^4 (2x)^4 \cdot (-3) = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-3) = -240x^4.\]
Коэффициент равен \(-240\).
в) Коэффициент суммы равен сумме коэффициентов слагаемых, поэтому считаем их по отдельности. Число сочетаний одно и то же: \(C_8^4 = \dfrac{8!}{4!\,4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = 70\).
В степени \((x - 2)^8\) член с \(x^4\) равен \(C_8^4 x^4 (-2)^4 = 70 \cdot 16x^4 = 1120x^4\), в степени \((x + 2)^8\) он равен \(C_8^4 x^4 \cdot 2^4 = 1120x^4\). Показатель \(8 - 4 = 4\) чётный, поэтому \((-2)^4 = 2^4\), коэффициенты равны и складываются: \(1120 + 1120 = 2240\).
г) Здесь тоже считаем коэффициент у каждого слагаемого. В степени \((x - 1)^6\) член с \(x^4\) равен \(C_6^4 x^4 (-1)^2 = 15x^4\), в степени \((x + 1)^6\) он равен \(C_6^4 x^4 \cdot 1^2 = 15x^4\). Показатель \(6 - 4 = 2\) чётный, поэтому \((-1)^2 = 1^2\) и оба коэффициента равны 15, а вычитается второй из первого: \(15 - 15 = 0\).
Ответ: а) 135; б) \(-240\); в) 2240; г) 0.
