Страница 118 номер 237, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Преобразуйте в сумму по формуле бинома Ньютона выражение:
а) \(\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^4\); б) \(\left(2x - \dfrac{3}{x^2}\right)^3\).
а) Слагаемые двучлена — \(x^2\) и \(\dfrac{2}{x}\), показатель 4; коэффициенты — четвёртая строка треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\):
\((x^2)^4 = x^8\);
\(4(x^2)^3 \cdot \dfrac{2}{x} = 4x^6 \cdot \dfrac{2}{x} = 8x^5\);
\(6(x^2)^2 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^2 = 6x^4 \cdot \dfrac{4}{x^2} = 24x^2\);
\(4x^2 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^3 = 4x^2 \cdot \dfrac{8}{x^3} = \dfrac{32}{x}\);
\(\left(\dfrac{2}{x}\right)^4 = \dfrac{16}{x^4}\).
Степень буквы \(x\) в каждом следующем члене на 3 меньше, чем в предыдущем, поэтому после члена \(24x^2\) идут дроби:
\[\left(x^2 + \frac{2}{x}\right)^4 = x^8 + 8x^5 + 24x^2 + \frac{32}{x} + \frac{16}{x^4}.\]
б) Слагаемые двучлена — \(2x\) и \(-\dfrac{3}{x^2}\), показатель 3; коэффициенты — третья строка: \(1;\ 3;\ 3;\ 1\):
\((2x)^3 = 8x^3\);
\(3(2x)^2 \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right) = 12x^2 \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right) = -36\);
\(3 \cdot 2x \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^2 = 6x \cdot \dfrac{9}{x^4} = \dfrac{54}{x^3}\);
\(\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^3 = -\dfrac{27}{x^6}\).
Второй член свободен от буквы \(x\):
\[\left(2x - \frac{3}{x^2}\right)^3 = 8x^3 - 36 + \frac{54}{x^3} - \frac{27}{x^6}.\]
Ответ: а) \(x^8 + 8x^5 + 24x^2 + \dfrac{32}{x} + \dfrac{16}{x^4}\); б) \(8x^3 - 36 + \dfrac{54}{x^3} - \dfrac{27}{x^6}\).
Преобразуйте в сумму по формуле бинома Ньютона выражение:
а) \(\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^4\); б) \(\left(2x - \dfrac{3}{x^2}\right)^3\).
а) Первое слагаемое двучлена — \(x^2\), второе — \(\dfrac{2}{x}\), показатель степени равен 4; коэффициенты — числа четвёртой строки треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\). Члены считаем по очереди:
\((x^2)^4 = x^8\);
\(4(x^2)^3 \cdot \dfrac{2}{x} = 4x^6 \cdot \dfrac{2}{x} = 8x^5\);
\(6(x^2)^2 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^2 = 6x^4 \cdot \dfrac{4}{x^2} = 24x^2\);
\(4x^2 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^3 = 4x^2 \cdot \dfrac{8}{x^3} = \dfrac{32}{x}\);
\(\left(\dfrac{2}{x}\right)^4 = \dfrac{16}{x^4}\).
Степень буквы \(x\) в каждом следующем члене на 3 меньше, чем в предыдущем, поэтому после члена \(24x^2\) идут дроби:
\[\left(x^2 + \frac{2}{x}\right)^4 = x^8 + 8x^5 + 24x^2 + \frac{32}{x} + \frac{16}{x^4}.\]
б) Первое слагаемое двучлена — \(2x\), второе — \(-\dfrac{3}{x^2}\), показатель степени равен 3; коэффициенты — числа третьей строки: \(1;\ 3;\ 3;\ 1\):
\((2x)^3 = 8x^3\);
\(3(2x)^2 \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right) = 12x^2 \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right) = -36\);
\(3 \cdot 2x \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^2 = 6x \cdot \dfrac{9}{x^4} = \dfrac{54}{x^3}\);
\(\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^3 = -\dfrac{27}{x^6}\).
Второй член свободен от буквы \(x\) и равен \(-36\) — терять его нельзя:
\[\left(2x - \frac{3}{x^2}\right)^3 = 8x^3 - 36 + \frac{54}{x^3} - \frac{27}{x^6}.\]
Ответ: а) \(x^8 + 8x^5 + 24x^2 + \dfrac{32}{x} + \dfrac{16}{x^4}\); б) \(8x^3 - 36 + \dfrac{54}{x^3} - \dfrac{27}{x^6}\).
