Страница 118 номер 241, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите свойство биномиальных коэффициентов:
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}, \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant n.\]
Зафиксируем число \(k\) и докажем равенство индукцией по \(n\), начиная с \(n = k\).
База. При \(n = k\) слева стоит одно слагаемое \(C_k^k\), а справа — число \(C_{k+1}^{k+1}\). Последнее число каждой строки треугольника Паскаля равно 1, поэтому \(C_k^k = 1\) и \(C_{k+1}^{k+1} = 1\), и равенство верно.
Шаг. Пусть при некотором \(n \geqslant k\) равенство уже доказано:
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}.\]
Прибавим к обеим частям следующее слагаемое \(C_{n+1}^k\):
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k + C_{n+1}^k = C_{n+1}^{k+1} + C_{n+1}^k.\]
По основному рекуррентному свойству чисел сочетаний \(C_{n+2}^{k+1} = C_{n+1}^k + C_{n+1}^{k+1}\); свойство применимо, потому что верхний индекс больше нуля и меньше нижнего: из \(k \geqslant 0\) и \(k \leqslant n\) следует \(0 < k + 1 < n + 2\). Значит, правая часть равна \(C_{n+2}^{k+1}\), то есть
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_{n+1}^k = C_{n+2}^{k+1},\]
а это и есть доказываемое равенство для числа \(n + 1\).
Равенство верно при \(n = k\) и от каждого числа \(n\) переходит к следующему, поэтому оно верно при всех \(k\) и \(n\), для которых \(0 \leqslant k \leqslant n\).
Ответ: равенство \(C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}\) при \(0 \leqslant k \leqslant n\) доказано.
Докажите свойство биномиальных коэффициентов:
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}, \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant n.\]
В левой части стоят числа \(k\)-го столбца треугольника Паскаля — из строк с \(k\)-й по \(n\)-ю. Например, при \(k = 1\) и \(n = 3\) равенство читается так: \(C_1^1 + C_2^1 + C_3^1 = 1 + 2 + 3 = 6\), и число \(C_4^2\) тоже равно 6.
Зафиксируем число \(k\) и докажем равенство индукцией по \(n\), начиная с \(n = k\).
База. При \(n = k\) слева стоит одно слагаемое \(C_k^k\), а справа — число \(C_{k+1}^{k+1}\). Первое и последнее число каждой строки треугольника Паскаля равно 1, поэтому \(C_k^k = 1\) и \(C_{k+1}^{k+1} = 1\), и равенство верно.
Шаг. Пусть при некотором \(n \geqslant k\) равенство уже доказано:
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}.\]
Прибавим к обеим частям следующее слагаемое \(C_{n+1}^k\):
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k + C_{n+1}^k = C_{n+1}^{k+1} + C_{n+1}^k.\]
По основному рекуррентному свойству чисел сочетаний \(C_{n+2}^{k+1} = C_{n+1}^k + C_{n+1}^{k+1}\); свойство применимо, потому что верхний индекс больше нуля и меньше нижнего: из \(k \geqslant 0\) и \(k \leqslant n\) следует \(0 < k + 1 < n + 2\). Значит, правая часть равна \(C_{n+2}^{k+1}\), то есть
\[C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_{n+1}^k = C_{n+2}^{k+1}.\]
Это и есть доказываемое равенство для числа \(n + 1\).
Равенство верно при \(n = k\) и от каждого числа \(n\) переходит к следующему, поэтому оно верно при всех \(n \geqslant k\), то есть при всех \(k\) и \(n\), для которых \(0 \leqslant k \leqslant n\).
Ответ: равенство \(C_k^k + C_{k+1}^k + \ldots + C_n^k = C_{n+1}^{k+1}\) при \(0 \leqslant k \leqslant n\) доказано.
