Страница 116 номер 230, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
деталей в партии — 20
бракованных деталей — 4
куплено 6 деталей
Найти: вероятность того, что среди купленных деталей а) нет ни одной бракованной; б) есть хотя бы одна бракованная; в) ровно 2 бракованные; г) ровно 3 бракованные.
Решение:
Шесть деталей взяты из партии случайно — покупатель их не осматривал и не отбирал, поэтому все наборы из 6 деталей равновозможны; элементарное событие — набор из 6 купленных деталей, порядок роли не играет.
Годных деталей в партии \(20 - 4 = 16\).
Число всех элементарных событий: \[\begin{aligned} &n = C_{20}^6 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6!} = {} \\ &= \frac{27\,907\,200}{720} = 38\,760. \end{aligned}\]
а) \(A\) «нет ни одной бракованной»: набор целиком из годных деталей, то есть выбор 6 деталей из 16: \[\begin{aligned} &n(A) = C_{16}^6 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6!} = {} \\ &= \frac{5\,765\,760}{720} = 8008. \end{aligned}\]
Сократив дробь на 8, получаем \[\mathrm{P}(A) = \frac{n(A)}{n} = \frac{8008}{38\,760} = \frac{1001}{4845} \approx 0{,}207.\]
б) \(B\) «есть хотя бы одна бракованная» — событие, противоположное событию \(A\): бракованных деталей в наборе либо нет вовсе, либо есть хотя бы одна. Значит, \[\mathrm{P}(B) = 1 - \mathrm{P}(A) = 1 - \frac{1001}{4845} = \frac{3844}{4845} \approx 0{,}793.\]
в) \(M\) «ровно 2 бракованные»: 2 бракованные детали берутся из четырёх бракованных, а остальные 4 детали набора — из шестнадцати годных. Способов выбрать бракованные \(C_4^2 = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} = 6\), годные — \(C_{16}^4 = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4!} = \dfrac{43\,680}{24} = 1820\), поэтому \[n(M) = C_4^2 \cdot C_{16}^4 = 6 \cdot 1820 = 10\,920.\]
Сократив дробь на 120, получаем \[\mathrm{P}(M) = \frac{n(M)}{n} = \frac{10\,920}{38\,760} = \frac{91}{323} \approx 0{,}282.\]
г) \(T\) «ровно 3 бракованные»: 3 бракованные детали берутся из четырёх бракованных, а остальные 3 детали — из шестнадцати годных. Способов выбрать бракованные \(C_4^3 = C_4^1 = 4\) (по симметричности), годные — \(C_{16}^3 = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3!} = \dfrac{3360}{6} = 560\), поэтому \[n(T) = C_4^3 \cdot C_{16}^3 = 4 \cdot 560 = 2240.\]
Сократив дробь на 40, получаем \[\mathrm{P}(T) = \frac{n(T)}{n} = \frac{2240}{38\,760} = \frac{56}{969} \approx 0{,}058.\]
Ответ: вероятность того, что среди шести купленных деталей а) нет ни одной бракованной, равна \(\dfrac{1001}{4845} \approx 0{,}207\); б) есть хотя бы одна бракованная — \(\dfrac{3844}{4845} \approx 0{,}793\); в) ровно 2 бракованные — \(\dfrac{91}{323} \approx 0{,}282\); г) ровно 3 бракованные — \(\dfrac{56}{969} \approx 0{,}058\).
Дано:
деталей в партии — 20
бракованных деталей — 4
куплено 6 деталей
Найти: вероятность того, что среди купленных деталей а) нет ни одной бракованной; б) есть хотя бы одна бракованная; в) ровно 2 бракованные; г) ровно 3 бракованные.
Решение:
Покупатель детали не осматривал и не отбирал — шесть деталей взяты из партии случайно, поэтому все наборы из 6 деталей равновозможны. Элементарное событие опыта — набор из 6 купленных деталей, порядок в наборе роли не играет.
Годных деталей в партии \(20 - 4 = 16\).
Число всех элементарных событий равно числу способов выбрать 6 деталей из 20: \[\begin{aligned} &n = C_{20}^6 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6!} = {} \\ &= \frac{27\,907\,200}{720} = 38\,760. \end{aligned}\]
а) \(A\) «среди купленных деталей нет ни одной бракованной». Событию \(A\) благоприятствуют наборы, целиком составленные из годных деталей, то есть выборы 6 деталей из 16: \[\begin{aligned} &n(A) = C_{16}^6 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6!} = {} \\ &= \frac{5\,765\,760}{720} = 8008. \end{aligned}\]
Сократив дробь на 8, получаем \[\mathrm{P}(A) = \frac{n(A)}{n} = \frac{8008}{38\,760} = \frac{1001}{4845} \approx 0{,}207.\]
б) \(B\) «среди купленных деталей есть хотя бы одна бракованная». Бракованных деталей в наборе либо нет вовсе, либо есть хотя бы одна, поэтому \(B\) — событие, противоположное событию \(A\), и \[\mathrm{P}(B) = 1 - \mathrm{P}(A) = 1 - \frac{1001}{4845} = \frac{3844}{4845} \approx 0{,}793.\]
в) \(M\) «среди купленных деталей ровно 2 бракованные». Благоприятствующий набор составляется в два шага: 2 бракованные детали берутся из четырёх бракованных, остальные 4 детали набора — из шестнадцати годных. Способов выбрать бракованные \(C_4^2 = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} = 6\), способов выбрать годные \(C_{16}^4 = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4!} = \dfrac{43\,680}{24} = 1820\). По правилу умножения \[n(M) = C_4^2 \cdot C_{16}^4 = 6 \cdot 1820 = 10\,920.\]
Сократив дробь на 120, получаем \[\mathrm{P}(M) = \frac{n(M)}{n} = \frac{10\,920}{38\,760} = \frac{91}{323} \approx 0{,}282.\]
г) \(T\) «среди купленных деталей ровно 3 бракованные». Теперь 3 бракованные детали берутся из четырёх бракованных, а остальные 3 детали набора — из шестнадцати годных. Способов выбрать бракованные \(C_4^3 = C_4^1 = 4\) (по симметричности), способов выбрать годные \(C_{16}^3 = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3!} = \dfrac{3360}{6} = 560\). По правилу умножения \[n(T) = C_4^3 \cdot C_{16}^3 = 4 \cdot 560 = 2240.\]
Сократив дробь на 40, получаем \[\mathrm{P}(T) = \frac{n(T)}{n} = \frac{2240}{38\,760} = \frac{56}{969} \approx 0{,}058.\]
Ответ: вероятность того, что среди шести купленных деталей а) нет ни одной бракованной, равна \(\dfrac{1001}{4845} \approx 0{,}207\); б) есть хотя бы одна бракованная — \(\dfrac{3844}{4845} \approx 0{,}793\); в) ровно 2 бракованные — \(\dfrac{91}{323} \approx 0{,}282\); г) ровно 3 бракованные — \(\dfrac{56}{969} \approx 0{,}058\).
