Страница 116 номер 228, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Последовательность из 3 букв \(a\), 4 букв \(b\) и 2 букв \(c\) имеет длину \(3 + 4 + 2 = 9\); раздаём буквам места из этих девяти.
Места для буквы \(a\) — любые 3 места из 9: \(C_9^3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} = \dfrac{504}{6} = 84\) способа.
Места для буквы \(b\) — любые 4 из оставшихся 6: \(C_6^4 = C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2!} = 15\) способов. Оставшиеся 2 места занимает буква \(c\), выбора здесь уже нет.
По правилу умножения последовательностей \[C_9^3 \cdot C_6^4 = 84 \cdot 15 = 1260.\]
б) Каждая из пяти букв \(x\), \(y\), \(z\), \(u\) и \(v\) встречается ровно 2 раза, поэтому длина последовательности равна \(5 \cdot 2 = 10\).
Раздаём места по 2 на букву: для буквы \(x\) — любые 2 места из 10, способов \(C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2!} = 45\); для буквы \(y\) — 2 места из оставшихся 8, способов \(C_8^2 = \dfrac{8 \cdot 7}{2!} = 28\); для буквы \(z\) — 2 места из 6, способов \(C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2!} = 15\); для буквы \(u\) — 2 места из 4, способов \(C_4^2 = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} = 6\). Последние 2 места занимает буква \(v\).
По правилу умножения последовательностей \[\begin{aligned} &C_{10}^2 \cdot C_8^2 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 = 45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6 = {} \\ &= 1260 \cdot 90 = 113\,400. \end{aligned}\]
Ответ: а) 1260 последовательностей; б) \(113\,400\) последовательностей.
В обоих пунктах последовательность собирается так: сначала считаем, сколько в ней мест, а потом по очереди раздаём места буквам.
а) Последовательность состоит из 3 букв \(a\), 4 букв \(b\) и 2 букв \(c\), поэтому её длина равна \(3 + 4 + 2 = 9\). Представим, что сначала последовательность состоит из 9 пустых мест.
Места для буквы \(a\) — это любые 3 места из 9, способов \(C_9^3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} = \dfrac{504}{6} = 84\). После этого свободных мест остаётся 6, и места для буквы \(b\) — это любые 4 из них, способов \(C_6^4 = C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2!} = 15\). Оставшиеся 2 места занимает буква \(c\), и выбора здесь уже нет.
По правилу умножения последовательностей всего \[C_9^3 \cdot C_6^4 = 84 \cdot 15 = 1260.\]
б) Букв пять — \(x\), \(y\), \(z\), \(u\) и \(v\), — и каждая встречается ровно 2 раза, поэтому длина последовательности равна \(5 \cdot 2 = 10\).
Раздаём места по той же схеме, по 2 места на букву: для буквы \(x\) — любые 2 места из 10, способов \(C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2!} = 45\); для буквы \(y\) — любые 2 места из оставшихся 8, способов \(C_8^2 = \dfrac{8 \cdot 7}{2!} = 28\); для буквы \(z\) — 2 места из 6, способов \(C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2!} = 15\); для буквы \(u\) — 2 места из 4, способов \(C_4^2 = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} = 6\). Последние 2 места занимает буква \(v\).
По правилу умножения последовательностей всего \[\begin{aligned} &C_{10}^2 \cdot C_8^2 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 = 45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6 = {} \\ &= 1260 \cdot 90 = 113\,400. \end{aligned}\]
Ответ: а) 1260 последовательностей; б) \(113\,400\) последовательностей.
