Страница 118 номер 236, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Решите уравнение \((5 - 3x)^3 + (5 + 3x)^3 = 280\).
Коэффициенты — числа третьей строки треугольника Паскаля: \(1;\ 3;\ 3;\ 1\).
\[\begin{aligned} &(5 - 3x)^3 = 125 - 3 \cdot 25 \cdot 3x + 3 \cdot 5 \cdot 9x^2 - 27x^3 = {} \\ &= 125 - 225x + 135x^2 - 27x^3; \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &(5 + 3x)^3 = 125 + 3 \cdot 25 \cdot 3x + 3 \cdot 5 \cdot 9x^2 + 27x^3 = {} \\ &= 125 + 225x + 135x^2 + 27x^3. \end{aligned}\]
При сложении члены с нечётными степенями буквы \(x\) уничтожаются, а с чётными удваиваются:
\[250 + 270x^2 = 280.\]
Отсюда \(270x^2 = 30\), то есть \(x^2 = \dfrac{30}{270} = \dfrac{1}{9}\), и \(x = -\dfrac{1}{3}\) или \(x = \dfrac{1}{3}\).
Проверка: при \(x = \dfrac{1}{3}\) двучлены равны 4 и 6, при \(x = -\dfrac{1}{3}\) те же числа меняются местами, а \(4^3 + 6^3 = 64 + 216 = 280\).
Ответ: \(-\dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{1}{3}\).
Решите уравнение \((5 - 3x)^3 + (5 + 3x)^3 = 280\).
Возведём в куб каждый двучлен по формуле бинома Ньютона; коэффициенты — числа третьей строки треугольника Паскаля: \(1;\ 3;\ 3;\ 1\).
\[\begin{aligned} &(5 - 3x)^3 = 125 - 3 \cdot 25 \cdot 3x + 3 \cdot 5 \cdot 9x^2 - 27x^3 = {} \\ &= 125 - 225x + 135x^2 - 27x^3; \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &(5 + 3x)^3 = 125 + 3 \cdot 25 \cdot 3x + 3 \cdot 5 \cdot 9x^2 + 27x^3 = {} \\ &= 125 + 225x + 135x^2 + 27x^3. \end{aligned}\]
При сложении члены с нечётными степенями буквы \(x\) уничтожаются, а члены с чётными степенями удваиваются, поэтому уравнение принимает вид
\[250 + 270x^2 = 280.\]
Отсюда \(270x^2 = 30\), то есть \(x^2 = \dfrac{30}{270} = \dfrac{1}{9}\), и \(x = -\dfrac{1}{3}\) или \(x = \dfrac{1}{3}\).
Проверка: при \(x = \dfrac{1}{3}\) получаем \(5 - 3x = 4\) и \(5 + 3x = 6\), откуда \(4^3 + 6^3 = 64 + 216 = 280\); при \(x = -\dfrac{1}{3}\) те же числа 4 и 6 меняются местами, и сумма кубов та же.
Ответ: \(-\dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{1}{3}\).
