Страница 115 номер 222, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На плоскости отмечены вершины правильного 11-угольника. Сколько существует:
а) отрезков с концами в этих точках;
б) треугольников с вершинами в этих точках?
У правильного 11-угольника 11 попарно различных вершин.
а) Концами отрезка может быть любая пара отмеченных точек — так получаются и стороны, и диагонали, поэтому отрезков \[C_{11}^2 = \frac{11 \cdot 10}{2} = \frac{110}{2} = 55.\]
б) Треугольник задаётся тройкой вершин, и любая тройка отмеченных точек даёт треугольник: все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности, а прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, поэтому никакие три вершины на одной прямой не лежат. Значит, треугольников \[C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3!} = \frac{990}{6} = 165.\]
Ответ: а) \(C_{11}^2 = 55\) отрезков; б) \(C_{11}^3 = 165\) треугольников.
На плоскости отмечены вершины правильного 11-угольника. Сколько существует:
а) отрезков с концами в этих точках;
б) треугольников с вершинами в этих точках?
У правильного 11-угольника 11 вершин, и все они попарно различны.
а) Отрезок задаётся парой своих концов, а концами может быть любая пара отмеченных точек — так получаются и стороны многоугольника, и его диагонали. Значит, отрезков столько, сколько пар можно составить из 11 точек: \[C_{11}^2 = \frac{11 \cdot 10}{2} = \frac{110}{2} = 55.\]
б) Треугольник задаётся тройкой своих вершин. Любая тройка отмеченных точек действительно даёт треугольник: все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности, а прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, поэтому никакие три вершины на одной прямой не лежат. Разным тройкам точек отвечают разные треугольники, значит, треугольников столько, сколько троек можно выбрать из 11 точек: \[C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3!} = \frac{990}{6} = 165.\]
Ответ: а) \(C_{11}^2 = 55\) отрезков; б) \(C_{11}^3 = 165\) треугольников.
