Страницы 268-269 номер 531, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Если плотность населения всюду примерно одинакова, связь численности населения с площадью территории должна быть положительной линейной. Данные по Республике Марий Эл на 1 января 2023 г.: первые четырнадцать строк — муниципальные районы, последние три — городские округа.
\[\begin{array}{|l|r|r|} \hline \text{Единица} & \text{Население, чел.} & \text{Площадь, км}^2 \\ \hline \text{Волжский} & 20\,633 & 913{,}86 \\ \hline \text{Горномарийский} & 19\,891 & 1\,971{,}47 \\ \hline \text{Звениговский} & 38\,830 & 2\,748{,}78 \\ \hline \text{Килемарский} & 11\,211 & 3\,098{,}89 \\ \hline \text{Куженерский} & 11\,637 & 852{,}83 \\ \hline \text{Мари-Турекский} & 17\,406 & 1\,513{,}86 \\ \hline \text{Медведевский} & 67\,681 & 2\,791{,}18 \\ \hline \text{Моркинский} & 26\,138 & 2\,270{,}08 \\ \hline \text{Новоторъяльский} & 13\,597 & 920{,}09 \\ \hline \text{Оршанский} & 12\,379 & 896{,}49 \\ \hline \text{Параньгинский} & 13\,181 & 791{,}66 \\ \hline \text{Сернурский} & 21\,572 & 1\,032{,}08 \\ \hline \text{Советский} & 26\,377 & 1\,392{,}45 \\ \hline \text{Юринский} & 6\,141 & 2\,040{,}15 \\ \hline \text{г. Волжск} & 52\,164 & 39{,}47 \\ \hline \text{г. Йошкар-Ола} & 294\,128 & 100{,}39 \\ \hline \text{г. Козьмодемьянск} & 19\,355 & 13{,}41 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — численность населения (чел.), массив \(y\) — площадь территории (км\(^2\)); силу связи измеряет \(\mathrm{r}_{x,\,y} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}\), а средние, ковариацию и стандартные отклонения берём из электронной таблицы (функции КОВАРИАЦИЯ.Г и КОРРЕЛ).
а) Все \(17\) административно-территориальных единиц: \(\overline{x} \approx 39\,548\) чел., \(\overline{y} \approx 1\,375{,}71\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx -17\,849\,675{,}79, \qquad S_x \approx 65\,478{,}16, \qquad S_y \approx 943{,}24,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{-17\,849\,675{,}79}{65\,478{,}16 \cdot 943{,}24} \approx -0{,}289.\]
Коэффициент отрицателен — положительной линейной связи по всему списку нет, предположение не подтверждается: у городских округов плотность населения в сотни раз выше районной, и допущение об одинаковой плотности не выполняется.
б) Только \(14\) муниципальных районов: \(\overline{x} \approx 21\,905\) чел., \(\overline{y} \approx 1\,659{,}56\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 5\,763\,319{,}19, \qquad S_x \approx 15\,000, \qquad S_y \approx 789{,}62,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{5\,763\,319{,}19}{15\,000 \cdot 789{,}62} \approx 0{,}487.\]
Коэффициент положителен — предположение подтверждается, но до единицы далеко: положительная линейная связь между численностью населения и площадью района, возможно, есть, однако не очень сильная.
в) Три городских округа: \(\overline{x} \approx 121\,882\) чел., \(\overline{y} = 51{,}09\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 4\,388\,356{,}11, \qquad S_x \approx 122\,530{,}36, \qquad S_y \approx 36{,}45,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{4\,388\,356{,}11}{122\,530{,}36 \cdot 36{,}45} \approx 0{,}983.\]
Значение близко к единице — можно предположить сильную положительную линейную связь: чем больше площадь городского округа, тем больше в нём жителей. Но наблюдений всего три, и плотность у них различается больше чем вдвое, так что вывод осторожный.
Ответ: а) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx -0{,}289\), положительной линейной связи нет, предположение не подтверждается; б) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}487\), возможно, положительная линейная связь есть, но не очень сильная; в) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}983\), можно предположить сильную положительную линейную связь.
Если плотность населения всюду примерно одинакова, то между численностью населения и площадью территории должна быть положительная линейная связь. Проверим это предположение по данным о населении и площади территории муниципальных районов и городских округов Республики Марий Эл на 1 января 2023 г. Первые четырнадцать строк — муниципальные районы, последние три — городские округа.
\[\begin{array}{|l|r|r|} \hline \text{Единица} & \text{Население, чел.} & \text{Площадь, км}^2 \\ \hline \text{Волжский} & 20\,633 & 913{,}86 \\ \hline \text{Горномарийский} & 19\,891 & 1\,971{,}47 \\ \hline \text{Звениговский} & 38\,830 & 2\,748{,}78 \\ \hline \text{Килемарский} & 11\,211 & 3\,098{,}89 \\ \hline \text{Куженерский} & 11\,637 & 852{,}83 \\ \hline \text{Мари-Турекский} & 17\,406 & 1\,513{,}86 \\ \hline \text{Медведевский} & 67\,681 & 2\,791{,}18 \\ \hline \text{Моркинский} & 26\,138 & 2\,270{,}08 \\ \hline \text{Новоторъяльский} & 13\,597 & 920{,}09 \\ \hline \text{Оршанский} & 12\,379 & 896{,}49 \\ \hline \text{Параньгинский} & 13\,181 & 791{,}66 \\ \hline \text{Сернурский} & 21\,572 & 1\,032{,}08 \\ \hline \text{Советский} & 26\,377 & 1\,392{,}45 \\ \hline \text{Юринский} & 6\,141 & 2\,040{,}15 \\ \hline \text{г. Волжск} & 52\,164 & 39{,}47 \\ \hline \text{г. Йошкар-Ола} & 294\,128 & 100{,}39 \\ \hline \text{г. Козьмодемьянск} & 19\,355 & 13{,}41 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — численность населения (чел.), массив \(y\) — площадь территории (км\(^2\)). Сила линейной связи измеряется коэффициентом корреляции
\[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}.\]
Массивы длинные, поэтому средние, ковариацию и стандартные отклонения находим в электронной таблице функциями КОВАРИАЦИЯ.Г и КОРРЕЛ.
а) Все \(17\) административно-территориальных единиц: \(\overline{x} \approx 39\,548\) чел., \(\overline{y} \approx 1\,375{,}71\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx -17\,849\,675{,}79, \qquad S_x \approx 65\,478{,}16, \qquad S_y \approx 943{,}24,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{-17\,849\,675{,}79}{65\,478{,}16 \cdot 943{,}24} \approx -0{,}289.\]
Коэффициент отрицателен, значит, положительной линейной связи между численностью населения и площадью территории по всему списку нет, и предположение не подтверждается. Охарактеризовать положительную связь здесь нельзя. Отчего так вышло, видно прямо в таблице: у трёх городских округов десятки и сотни тысяч жителей размещены на площади от \(13{,}41\) до \(100{,}39\) км\(^2\), то есть плотность населения у них в сотни раз выше районной, и для всего списка сразу исходное допущение о примерно одинаковой плотности населения не выполняется.
б) Только \(14\) муниципальных районов, без городских округов: \(\overline{x} \approx 21\,905\) чел., \(\overline{y} \approx 1\,659{,}56\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 5\,763\,319{,}19, \qquad S_x \approx 15\,000, \qquad S_y \approx 789{,}62,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{5\,763\,319{,}19}{15\,000 \cdot 789{,}62} \approx 0{,}487.\]
Коэффициент положителен, и предположение о положительной линейной связи подтверждается. Но до единицы значению далеко, поэтому связь стоит назвать умеренной: возможно, положительная линейная связь между численностью населения и площадью района есть, однако она не очень сильная.
в) Три городских округа: \(\overline{x} \approx 121\,882\) чел., \(\overline{y} = 51{,}09\) км\(^2\),
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 4\,388\,356{,}11, \qquad S_x \approx 122\,530{,}36, \qquad S_y \approx 36{,}45,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{4\,388\,356{,}11}{122\,530{,}36 \cdot 36{,}45} \approx 0{,}983.\]
Значение близко к единице — можно предположить сильную положительную линейную связь: чем больше площадь городского округа, тем больше в нём жителей. Все три города выстроены по возрастанию одинаково и по площади, и по числу жителей: Козьмодемьянск — \(13{,}41\) км\(^2\) и \(19\,355\) чел., Волжск — \(39{,}47\) км\(^2\) и \(52\,164\) чел., Йошкар-Ола — \(100{,}39\) км\(^2\) и \(294\,128\) чел. Наблюдений здесь, правда, всего три, и плотность населения у них различается больше чем вдвое, так что вывод остаётся осторожным.
Ответ: а) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx -0{,}289\), положительной линейной связи нет, предположение не подтверждается; б) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}487\), возможно, положительная линейная связь есть, но не очень сильная; в) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}983\), можно предположить сильную положительную линейную связь.
