Страница 288 номер 549, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Простое целочисленное случайное блуждание \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), ... начинается с состояния \(X_1 = 0\). Известно, что \(|X_8| \leqslant 1\). Какова вероятность события \(X_4 = -2\)?
Блуждание простое и симметричное: каждый шаг с вероятностью \(\frac{1}{2}\) поднимает состояние на 1 и с вероятностью \(\frac{1}{2}\) опускает его на 1.
Если среди \(n\) шагов ровно \(k\) подъёмов, то \(X_n = 2k - n\): состояние имеет ту же чётность, что и число шагов. Значит, \(X_8\) чётно, и условие \(|X_8| \leqslant 1\) означает в точности \(X_8 = 0\).
За восемь шагов получается \(2^8 = 256\) равновозможных последовательностей, а \(X_8 = 0\) ровно тогда, когда среди восьми шагов четыре подъёма, — таких последовательностей \(C_8^4 = 70\).
Состояние \(X_4 = -2\) получается при одном подъёме и трёх спусках за первые четыре шага — \(C_4^1 = 4\) способа; дальше надо подняться из \(-2\) в 0, то есть сделать три подъёма и один спуск, — ещё \(C_4^3 = 4\) способа, всего \(4 \cdot 4 = 16\) последовательностей.
Все 256 последовательностей равновероятны, поэтому условная вероятность — доля благоприятных среди семидесяти: \[\mathrm{P}(X_4 = -2 \mid X_8 = 0) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35} \approx 0{,}229.\]
Ответ: \(\frac{8}{35} \approx 0{,}229\).
Простое целочисленное случайное блуждание \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), ... начинается с состояния \(X_1 = 0\). Известно, что \(|X_8| \leqslant 1\). Какова вероятность события \(X_4 = -2\)?
Блуждание начинается в состоянии 0; через \(k\) шагов оно оказывается в состоянии \(X_k\). Блуждание простое и симметричное: каждый шаг с вероятностью \(\frac{1}{2}\) поднимает состояние на 1 и с вероятностью \(\frac{1}{2}\) опускает его на 1.
Если среди \(n\) шагов ровно \(k\) подъёмов, то спусков будет \(n - k\) и состояние равно \(X_n = 2k - n\). Значит, состояние \(X_n\) имеет ту же чётность, что и число шагов \(n\). Состояние \(X_8\) чётно, поэтому условие \(|X_8| \leqslant 1\) означает в точности равенство \(X_8 = 0\).
За восемь шагов получается \(2^8 = 256\) равновозможных последовательностей подъёмов и спусков. Состояние \(X_8\) равно нулю тогда и только тогда, когда среди восьми шагов ровно четыре подъёма, а таких последовательностей \(C_8^4 = 70\).
Посмотрим, у скольких из этих 70 последовательностей \(X_4 = -2\). За первые четыре шага состояние \(-2\) получается при одном подъёме и трёх спусках — это \(C_4^1 = 4\) способа. Дальше блуждание должно подняться из \(-2\) в 0, то есть сделать за следующие четыре шага три подъёма и один спуск — ещё \(C_4^3 = 4\) способа. Всего \(4 \cdot 4 = 16\) последовательностей.
Все 256 последовательностей равновероятны, поэтому условная вероятность равна доле благоприятных среди семидесяти:
\[\mathrm{P}(X_4 = -2 \mid X_8 = 0) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35} \approx 0{,}229.\]
Ответ: \(\frac{8}{35} \approx 0{,}229\).
