Страница 276 номер 534, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Прямую \(y = \hat{a}x + \hat{b}\) ищем методом наименьших квадратов:
\[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\ \text{и}\ \hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}.\]
а) Четыре пары совместных наблюдений, \(n = 4\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 2 & 5 & 1 \\ \hline y & 7{,}56 & -1{,}23 & 8{,}12 & 0{,}31 \\ \hline \end{array}\] \[\overline{x} = \frac{4 + 2 + 5 + 1}{4} = 3, \qquad \overline{y} = \frac{7{,}56 - 1{,}23 + 8{,}12 + 0{,}31}{4} = 3{,}69,\] \[\overline{x^2} = \frac{16 + 4 + 25 + 1}{4} = 11{,}5, \qquad \overline{y^2} = \frac{57{,}1536 + 1{,}5129 + 65{,}9344 + 0{,}0961}{4} = 31{,}17425,\] \[S_x = \sqrt{11{,}5 - 3^2} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}581, \qquad S_y = \sqrt{31{,}17425 - 3{,}69^2} = \sqrt{17{,}55815} \approx 4{,}190,\] \[\overline{xy} = \frac{30{,}24 - 2{,}46 + 40{,}6 + 0{,}31}{4} = \frac{68{,}69}{4} = 17{,}1725,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) = \overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y} = 17{,}1725 - 3 \cdot 3{,}69 = 6{,}1025,\] \[\hat{a} = \frac{6{,}1025}{2{,}5} = 2{,}441, \qquad \hat{b} = 3{,}69 - 2{,}441 \cdot 3 = -3{,}633.\]
Получается прямая \(y = 2{,}441x - 3{,}633\).
б) Двенадцать пар совместных наблюдений, \(n = 12\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 4 & 4 & 4 & 5 & 2 \\ \hline y & 0{,}221 & 1{,}099 & 0{,}730 & 1{,}933 & 1{,}214 & 1{,}616 \\ \hline x & 5 & 9 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \hline y & 0{,}361 & 1{,}832 & 0{,}494 & 1{,}707 & 0{,}821 & 0{,}610 \\ \hline \end{array}\]
Суммы по массивам: \(x_1 + \ldots + x_{12} = 53\), \(y_1 + \ldots + y_{12} = 12{,}638\), \(x_1^2 + \ldots + x_{12}^2 = 313\), \(y_1^2 + \ldots + y_{12}^2 = 17{,}301854\), \(x_1y_1 + \ldots + x_{12}y_{12} = 53{,}875\). Средние не выражаются конечными десятичными дробями, поэтому промежуточные значения оставляем обыкновенными дробями и округляем только в конце:
\[\overline{x} = \frac{53}{12} \approx 4{,}417, \qquad \overline{y} = \frac{12{,}638}{12} \approx 1{,}053,\] \[S_x^2 = \frac{313}{12} - \left(\frac{53}{12}\right)^2 = \frac{3756 - 2809}{144} = \frac{947}{144}, \qquad S_x \approx 2{,}564,\] \[S_y^2 = \frac{17{,}301854}{12} - \left(\frac{12{,}638}{12}\right)^2 = \frac{47{,}903204}{144}, \qquad S_y \approx 0{,}577,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) = \frac{53{,}875}{12} - \frac{53}{12} \cdot \frac{12{,}638}{12} = -\frac{23{,}314}{144} \approx -0{,}162,\] \[\hat{a} = -\frac{23{,}314}{144} : \frac{947}{144} = -\frac{23{,}314}{947} \approx -0{,}025, \qquad \hat{b} = \frac{12{,}638}{12} + \frac{23{,}314}{947} \cdot \frac{53}{12} \approx 1{,}162.\]
Получается прямая \(y = -0{,}025x + 1{,}162\), убывающая: с ростом \(x\) значения \(y\) в среднем слегка уменьшаются.
Ответ: а) \(y = 2{,}441x - 3{,}633\); б) \(y = -0{,}025x + 1{,}162\).
а) Четыре пары совместных наблюдений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 2 & 5 & 1 \\ \hline y & 7{,}56 & -1{,}23 & 8{,}12 & 0{,}31 \\ \hline \end{array}\]
Ищем прямую \(y = \hat{a}x + \hat{b}\), для которой сумма квадратов вертикальных отклонений точек наблюдений наименьшая. Метод наименьших квадратов даёт
\[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\ \text{и}\ \hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}.\]
Вычисляем по порядку все нужные характеристики (\(n = 4\)):
\[\overline{x} = \frac{4 + 2 + 5 + 1}{4} = 3, \qquad \overline{y} = \frac{7{,}56 - 1{,}23 + 8{,}12 + 0{,}31}{4} = 3{,}69,\] \[\overline{x^2} = \frac{16 + 4 + 25 + 1}{4} = 11{,}5, \qquad \overline{y^2} = \frac{57{,}1536 + 1{,}5129 + 65{,}9344 + 0{,}0961}{4} = 31{,}17425,\] \[S_x = \sqrt{11{,}5 - 3^2} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}581, \qquad S_y = \sqrt{31{,}17425 - 3{,}69^2} = \sqrt{17{,}55815} \approx 4{,}190,\] \[\overline{xy} = \frac{30{,}24 - 2{,}46 + 40{,}6 + 0{,}31}{4} = \frac{68{,}69}{4} = 17{,}1725,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) = \overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y} = 17{,}1725 - 3 \cdot 3{,}69 = 6{,}1025.\] \[\hat{a} = \frac{6{,}1025}{2{,}5} = 2{,}441, \qquad \hat{b} = 3{,}69 - 2{,}441 \cdot 3 = -3{,}633.\]
Получается прямая \(y = 2{,}441x - 3{,}633\).
б) Двенадцать пар совместных наблюдений (два яруса по шесть пар):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 4 & 4 & 4 & 5 & 2 \\ \hline y & 0{,}221 & 1{,}099 & 0{,}730 & 1{,}933 & 1{,}214 & 1{,}616 \\ \hline x & 5 & 9 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \hline y & 0{,}361 & 1{,}832 & 0{,}494 & 1{,}707 & 0{,}821 & 0{,}610 \\ \hline \end{array}\]
Здесь \(n = 12\). Суммы по массивам: \(x_1 + \ldots + x_{12} = 53\), \(y_1 + \ldots + y_{12} = 12{,}638\), \(x_1^2 + \ldots + x_{12}^2 = 313\), \(y_1^2 + \ldots + y_{12}^2 = 17{,}301854\), \(x_1y_1 + \ldots + x_{12}y_{12} = 53{,}875\). Средние здесь не выражаются конечными десятичными дробями, поэтому промежуточные значения оставляем обыкновенными дробями и округляем только в конце:
\[\overline{x} = \frac{53}{12} \approx 4{,}417, \qquad \overline{y} = \frac{12{,}638}{12} \approx 1{,}053,\] \[\overline{x^2} = \frac{313}{12} \approx 26{,}083, \qquad \overline{y^2} = \frac{17{,}301854}{12} \approx 1{,}442,\] \[S_x^2 = \frac{313}{12} - \left(\frac{53}{12}\right)^2 = \frac{3756 - 2809}{144} = \frac{947}{144}, \qquad S_x \approx 2{,}564,\] \[S_y^2 = \frac{17{,}301854}{12} - \left(\frac{12{,}638}{12}\right)^2 = \frac{47{,}903204}{144}, \qquad S_y \approx 0{,}577,\] \[\overline{xy} = \frac{53{,}875}{12} \approx 4{,}490, \qquad \mathrm{cov}(x,\ y) = \frac{53{,}875}{12} - \frac{53}{12} \cdot \frac{12{,}638}{12} = -\frac{23{,}314}{144} \approx -0{,}162.\] \[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2} = -\frac{23{,}314}{144} : \frac{947}{144} = -\frac{23{,}314}{947} \approx -0{,}025,\] \[\hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x} = \frac{12{,}638}{12} + \frac{23{,}314}{947} \cdot \frac{53}{12} \approx 1{,}162.\]
Получается прямая \(y = -0{,}025x + 1{,}162\). Угловой коэффициент отрицателен, значит, прямая убывающая: с ростом \(x\) значения \(y\) в среднем слегка уменьшаются.
Ответ: а) \(y = 2{,}441x - 3{,}633\); б) \(y = -0{,}025x + 1{,}162\).
