Страница 264 номер 528, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков. Найдите ковариацию этих величин.
Числа очков при бросках \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы и распределены одинаково, \(X = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\).
\(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а ковариация \(X_1\) с каждым из остальных слагаемых равна нулю — броски независимы:
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \frac{\mathrm{D}X_1}{n} = \frac{35}{12n}.\]
Дисперсия среднего арифметического \(n\) независимых одинаково распределённых величин в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения: \(\mathrm{D}X = \dfrac{\mathrm{D}X_1}{n} = \dfrac{35}{12n}\), поэтому знаменатель формулы коэффициента корреляции равен \(\sqrt{\mathrm{D}X_1} \cdot \sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \cdot \sqrt{\dfrac{35}{12n}} = \dfrac{35}{12\sqrt{n}}\).
\[\mathrm{r}(X_1,\ X) = \frac{35}{12n} : \frac{35}{12\sqrt{n}} = \frac{35}{12n} \cdot \frac{12\sqrt{n}}{35} = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \dfrac{35}{12n}\), а коэффициент корреляции этих величин равен \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков. Найдите ковариацию этих величин.
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Числа очков при первом, втором, …, \(n\)-м бросках обозначим \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\): они независимы и распределены одинаково. Величина \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков:
\[X = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}.\]
Дисперсия числа очков при одном броске: \(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
Ковариация. Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а ковариация \(X_1\) с каждым из остальных слагаемых равна нулю, потому что броски независимы:
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \frac{\mathrm{D}X_1}{n} = \frac{35}{12n}.\]
Коэффициент корреляции этих же величин. Дисперсия среднего арифметического \(n\) независимых одинаково распределённых величин в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения:
\[\mathrm{D}X = \frac{\mathrm{D}X_1}{n} = \frac{35}{12n}.\]
Знаменатель формулы равен \(\sqrt{\mathrm{D}X_1} \cdot \sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \cdot \sqrt{\dfrac{35}{12n}} = \dfrac{35}{12\sqrt{n}}\), поэтому
\[\mathrm{r}(X_1,\ X) = \frac{35}{12n} : \frac{35}{12\sqrt{n}} = \frac{35}{12n} \cdot \frac{12\sqrt{n}}{35} = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \dfrac{35}{12n}\), а коэффициент корреляции этих величин равен \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
