Страница 288 номер 548, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}7\) — вероятность того, что бактерия разделится на две
\(q = 0{,}3\) — вероятность того, что бактерия погибнет
\(X_0 = 1\) — бактерия в растворе вначале

Найти: вероятность того, что через некоторое время не останется ни одной живой бактерии.

Решение:

Каждые 5 минут решается судьба одной бактерии: она либо делится на две такие же, и тогда бактерий становится на 1 больше, либо погибает, и тогда бактерий становится на 1 меньше. Значит, число бактерий в растворе — состояние простого случайного блуждания, у которого подъём случается с вероятностью \(p = 0{,}7\), спуск — с вероятностью \(q = 0{,}3\), а начальное состояние равно 1.

Событие «не останется ни одной живой бактерии» означает, что число бактерий когда-нибудь станет нулём, то есть блуждание совершит переход \(1 \to 0\) — переход вниз на единицу. Попав в состояние 0, блуждание на этом заканчивается: делиться и погибать больше некому.

Вероятность подъёма \(p = 0{,}7 > \frac{1}{2}\), поэтому вероятность перехода вниз на единицу равна

\[\mathrm{P}(1 \to 0) = \frac{q}{p} = \frac{0{,}3}{0{,}7} = \frac{3}{7}.\]

Длительность шага (5 минут) в ответе не участвует: спрошено, случится ли гибель популяции хоть когда-нибудь, а не за какое время.

Ответ: \(\frac{3}{7}\).