Страница 264 номер 529, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы и одинаково распределены, их общее математическое ожидание \(m\), общая дисперсия \(d\); \(\overline{X} = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\) — среднее арифметическое выборки, \(k\) — номер какого-то из наблюдений.
а) Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а ковариация \(X_k\) с каждым из остальных наблюдений равна нулю — наблюдения независимы:
\[\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_k) = \frac{d}{n}.\]
Дисперсия среднего арифметического в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения: \(\mathrm{D}\overline{X} = \dfrac{d}{n}\), поэтому знаменатель формулы коэффициента корреляции равен \(\sqrt{\mathrm{D}X_k} \cdot \sqrt{\mathrm{D}\overline{X}} = \sqrt{d} \cdot \sqrt{\dfrac{d}{n}} = \dfrac{d}{\sqrt{n}}\).
\[\mathrm{r}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{d}{n} : \frac{d}{\sqrt{n}} = \frac{d}{n} \cdot \frac{\sqrt{n}}{d} = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Результат не зависит ни от номера наблюдения \(k\), ни от дисперсии \(d\), ни от ожидания \(m\) — только от объёма выборки.
б) Ковариация существует, если существуют три математических ожидания — \(\mathrm{E}X_k\), \(\mathrm{E}\overline{X}\) и \(\mathrm{E}(X_k\overline{X})\), а коэффициент корреляции требует ещё и дисперсий, отличных от нуля: на \(\sqrt{d}\) приходится делить. У конечной генеральной совокупности наблюдаемая величина принимает конечное число значений, поэтому ожидание и дисперсия у неё заведомо существуют; у бесконечной их может не быть, и тогда обе формулы теряют смысл.
Достаточно более слабого условия: у наблюдаемой величины существует дисперсия и она отлична от нуля (то есть величина непостоянна) — существование математического ожидания из этого следует.
Ответ: а) \(\mathrm{r}(X_k,\ \overline{X}) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\); б) конечность генеральной совокупности гарантирует, что у наблюдаемой величины существуют математическое ожидание и дисперсия, без которых ни ковариация, ни коэффициент корреляции не определены; заменить это требование можно условием «у наблюдаемой случайной величины существует дисперсия, отличная от нуля».
В результате выборочного обследования конечной генеральной совокупности получена выборка независимых одинаково распределённых случайных величин \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\). Их общее математическое ожидание обозначим \(m\), а общую дисперсию — \(d\); величина \(\overline{X}\) — среднее арифметическое выборки:
\[\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}.\]
а) Сначала ковариация. Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а ковариация \(X_k\) с каждым из остальных наблюдений равна нулю, потому что наблюдения независимы:
\[\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_k) = \frac{d}{n}.\]
Дисперсия среднего арифметического \(n\) независимых одинаково распределённых наблюдений в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения: \(\mathrm{D}\overline{X} = \dfrac{d}{n}\). Знаменатель формулы коэффициента корреляции равен \(\sqrt{\mathrm{D}X_k} \cdot \sqrt{\mathrm{D}\overline{X}} = \sqrt{d} \cdot \sqrt{\dfrac{d}{n}} = \dfrac{d}{\sqrt{n}}\), поэтому
\[\mathrm{r}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{d}{n} : \frac{d}{\sqrt{n}} = \frac{d}{n} \cdot \frac{\sqrt{n}}{d} = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Результат не зависит ни от номера наблюдения \(k\), ни от дисперсии \(d\), ни от математического ожидания \(m\) — только от объёма выборки.
б) Обе найденные величины существуют не всегда. Ковариация существует, если существуют три математических ожидания — \(\mathrm{E}X_k\), \(\mathrm{E}\overline{X}\) и \(\mathrm{E}(X_k\overline{X})\), а коэффициент корреляции требует ещё и дисперсий, причём отличных от нуля: на \(\sqrt{d}\) приходится делить.
Конечная генеральная совокупность это и обеспечивает: наблюдаемая величина принимает конечное число значений, поэтому и математическое ожидание, и дисперсия у неё заведомо существуют, а сумма в выкладке содержит конечное число слагаемых. Если совокупность бесконечна, у наблюдаемой величины математического ожидания или дисперсии может не быть — тогда ни \(\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X})\), ни \(\mathrm{r}(X_k,\ \overline{X})\) не определены и задача теряет смысл.
Заменить требование конечности можно более слабым условием: у наблюдаемой случайной величины существует дисперсия и она отлична от нуля (то есть величина непостоянна). Из существования дисперсии следует и существование математического ожидания, так что этого условия достаточно.
Ответ: а) \(\mathrm{r}(X_k,\ \overline{X}) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\); б) конечность генеральной совокупности гарантирует, что у наблюдаемой величины существуют математическое ожидание и дисперсия, без которых ни ковариация, ни коэффициент корреляции не определены; заменить это требование можно условием «у наблюдаемой случайной величины существует дисперсия, отличная от нуля».
