Страница 261 номер 520, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков. Найдите ковариацию этих величин.
Числа очков при бросках \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы и распределены одинаково, \(X = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\).
\(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а по распределительному закону ковариация \(X_1\) с каждым из остальных слагаемых равна нулю — броски независимы:
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \frac{\mathrm{D}X_1}{n} = \frac{35}{12n}.\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \dfrac{35}{12n}\).
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков. Найдите ковариацию этих величин.
Игральный кубик бросают \(n\) раз. Числа очков при первом, втором, …, \(n\)-м бросках обозначим \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\): они независимы и распределены одинаково. Величина \(X\) — среднее арифметическое выпавших очков:
\[X = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}.\]
Дисперсия числа очков при одном броске: \(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации:
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n).\]
По распределительному закону ковариация с суммой распадается на \(n\) слагаемых, и все они, кроме первого, равны нулю: броски независимы. Остаётся
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \frac{\mathrm{D}X_1}{n} = \frac{35}{12n}.\]
Чем больше бросков, тем меньше ковариация: в среднее арифметическое первый бросок входит с множителем \(\dfrac{1}{n}\), и этот множитель убывает с ростом числа бросков.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \dfrac{35}{12n}\).
