Вопросы после параграфа §56 на странице 264, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Ковариация зависит от единиц, в которых выражены величины, поэтому её нормируют — делят на \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) и \(\sqrt{\mathrm{D}Y}\); эти числа не должны равняться нулю, то есть величины должны быть непостоянными. Коэффициентом линейной корреляции непостоянных величин \(X\) и \(Y\) называют число
\[\mathrm{r}(X,\ Y) = \frac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}.\]
Крайние значения \(-1\) и 1 отвечают жёсткой линейной связи, нуль — её отсутствию.
Ответ: Коэффициент корреляции — это нормированная ковариация: \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}\) для непостоянных величин \(X\) и \(Y\). Деление на стандартные отклонения избавляет от единиц измерения, поэтому коэффициент корреляции безразмерен и лежит между \(-1\) и 1, а знак у него тот же, что у ковариации.
Да, может: знаменатель \(\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\) положителен всегда, поэтому знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации. Отрицательное значение означает отрицательную линейную связь (чем больше одна величина, тем, скорее всего, меньше другая), а наименьшее возможное значение \(-1\) отвечает жёсткой отрицательной связи.
Ответ: Да, может; отрицательный коэффициент корреляции означает отрицательную линейную связь между величинами, а значение \(-1\) — жёсткую отрицательную связь.
Нет, нельзя: у постоянной величины разброса нет, её дисперсия равна нулю, поэтому \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 0\), а на нуль в знаменателе делить нельзя — коэффициент корреляции и вводится только для непостоянных величин. Ковариация при этом существует и равна нулю, но нормировать её нечем.
Ответ: Нет: у постоянной величины дисперсия равна нулю, знаменатель формулы обращается в нуль, и коэффициент корреляции не определён.
Да, существуют. Пусть \(Y = X^2\), а величина \(X\) имеет симметричное распределение:
\[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Кубы чисел \(-1\), 0 и 1 равны самим числам, поэтому \(X^3 = X\) и \(\mathrm{E}X^3 = \mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 = 0\), откуда \(\mathrm{cov}(X,\ X^2) = \mathrm{E}X^3 - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}X^2 = 0\).
Обе величины непостоянны: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X = 0{,}6 - 0 = 0{,}6\), а величина \(Y\) принимает значения 0 и 1 с вероятностями \(0{,}4\) и \(0{,}6\), поэтому \(\mathrm{E}Y = \mathrm{E}Y^2 = 0{,}6\) и \(\mathrm{D}Y = 0{,}6 - 0{,}36 = 0{,}24\). Значит, коэффициент корреляции определён и равен нулю, а зависимость жёсткая: по значению \(X\) значение \(Y\) находится однозначно.
Ответ: Да, существуют: у величины \(X\) с симметричным распределением на значениях \(-1\); 0; 1 и величины \(Y = X^2\) коэффициент корреляции равен нулю, а зависимость между ними жёсткая.
Только линейную: коэффициент корреляции измеряет силу линейной зависимости, и по нему нельзя судить о характере и силе зависимости, если неизвестно, что она линейная.
Шкала значений: \(\mathrm{r} = 1\) — жёсткая положительная линейная связь (все значения пары лежат на возрастающей прямой \(Y = aX + b\) при \(a > 0\)), \(\mathrm{r} = -1\) — жёсткая отрицательная связь (\(a < 0\)), значения внутри промежутка \((-1;\ 1)\) — нежёсткая линейная связь, тем более сильная, чем ближе коэффициент к концам промежутка, \(\mathrm{r} = 0\) — линейной связи нет.
Ответ: Коэффициент корреляции отражает только линейную связь между случайными величинами; о нелинейной зависимости он ничего не говорит.
Нет, не может: коэффициент корреляции всегда удовлетворяет неравенству \(-1 \leqslant \mathrm{r}(X,\ Y) \leqslant 1\). Граница берётся из свойства 6 ковариации \(|\mathrm{cov}(X,\ Y)| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\): разделим обе части на положительное число \(\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\) — слева окажется модуль коэффициента корреляции:
\[|\mathrm{r}(X,\ Y)| = \frac{|\mathrm{cov}(X,\ Y)|}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}} \leqslant 1.\]
Число 3 в промежуток от \(-1\) до 1 не попадает.
Ответ: Нет: коэффициент корреляции любых двух непостоянных случайных величин лежит между \(-1\) и 1.
Нет, нельзя: значение \(0{,}001\) близко к нулю и говорит лишь о том, что линейной связи практически нет, а о зависимости вообще не говорит ничего — она может быть сильной нелинейной.
Пример: у величины \(X\) с симметричным распределением на значениях \(-1\), 0, 1 и величины \(Y = X^2\) коэффициент корреляции равен нулю, то есть даже меньше, чем \(0{,}001\), а зависимость жёсткая.
Ответ: Нет, нельзя: малый коэффициент корреляции означает лишь отсутствие линейной связи, а зависимость между величинами может быть сильной нелинейной.
Ковариация, как и дисперсия, зависит от единиц, в которых выражены случайные величины: измеряя рост в сантиметрах или в метрах, мы получим для ковариации роста и массы разные числа. Чтобы избавиться от этого влияния, ковариацию нормируют — делят на \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) и \(\sqrt{\mathrm{D}Y}\). Эти числа не должны равняться нулю, то есть величины не должны быть постоянными.
Коэффициентом линейной корреляции непостоянных случайных величин \(X\) и \(Y\) называют число
\[\mathrm{r}(X,\ Y) = \frac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}.\]
Слово «линейной» при этом часто опускают.
С ковариацией коэффициент корреляции связан просто: это та же ковариация, только поделённая на два положительных числа. Поэтому знак у них общий, но коэффициент корреляции безразмерен — он не зависит от единиц измерения величин — и всегда лежит между \(-1\) и 1. Крайние значения отвечают жёсткой линейной связи, нуль — её отсутствию.
Пример с числами: если \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 3\), \(\mathrm{D}X = 4\) и \(\mathrm{D}Y = 9\), то \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{3}{2 \cdot 3} = 0{,}5\) — связь положительная, но не жёсткая.
Ответ: Коэффициент корреляции — это нормированная ковариация: \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}\) для непостоянных величин \(X\) и \(Y\). Деление на стандартные отклонения избавляет от единиц измерения, поэтому коэффициент корреляции безразмерен и лежит между \(-1\) и 1, а знак у него тот же, что у ковариации.
Да, может. Знаменатель \(\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\) положителен всегда, поэтому знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации: отрицательна ковариация — отрицателен и коэффициент корреляции. Это означает отрицательную линейную связь: чем больше одна величина, тем, скорее всего, меньше другая. Наименьшее возможное значение \(-1\) отвечает жёсткой отрицательной связи.
Пример: при \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = -5\), \(\mathrm{D}X = 4\) и \(\mathrm{D}Y = 9\) получаем \(\mathrm{r}(X,\ Y) = -\dfrac{5}{2 \cdot 3} \approx -0{,}833\) — сильная отрицательная связь.
Ответ: Да, может; отрицательный коэффициент корреляции означает отрицательную линейную связь между величинами, а значение \(-1\) — жёсткую отрицательную связь.
Нет, нельзя. Постоянная величина принимает единственное значение, разброса у неё нет, и её дисперсия равна нулю, поэтому \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 0\). В формуле коэффициента корреляции такое число стоит в знаменателе, а делить на нуль нельзя. Именно поэтому в определении сказано: коэффициент корреляции вводится для непостоянных случайных величин.
Ковариация при этом существует и равна нулю, но нормировать её нечем.
Ответ: Нет: у постоянной величины дисперсия равна нулю, знаменатель формулы обращается в нуль, и коэффициент корреляции не определён.
Да, существуют. Пусть \(Y = X^2\), а величина \(X\) имеет симметричное распределение:
\[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Эти величины зависимы, и зависимость жёсткая: по значению \(X\) значение \(Y\) находится однозначно.
Найдём ковариацию: \(\mathrm{cov}(X,\ X^2) = \mathrm{E}X^3 - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}X^2\). Кубы чисел \(-1\), 0 и 1 равны самим числам, поэтому \(X^3 = X\) и
\[\mathrm{E}X^3 = \mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 = 0.\]
Значит, \(\mathrm{cov}(X,\ X^2) = 0 - 0 \cdot \mathrm{E}X^2 = 0\).
Обе величины непостоянны: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X = 0{,}6 - 0 = 0{,}6\), а \(Y\) принимает значения 0 и 1 с вероятностями \(0{,}4\) и \(0{,}6\), откуда \(\mathrm{E}Y = 0{,}6\), \(\mathrm{E}Y^2 = 0{,}6\) и \(\mathrm{D}Y = 0{,}6 - 0{,}36 = 0{,}24\). Значит, коэффициент корреляции определён, и он равен нулю, потому что нулю равен его числитель.
Ответ: Да, существуют: у величины \(X\) с симметричным распределением на значениях \(-1\); 0; 1 и величины \(Y = X^2\) коэффициент корреляции равен нулю, а зависимость между ними жёсткая.
Только линейную. Коэффициент корреляции измеряет силу не всякой, а только линейной зависимости между случайными величинами, и по нему нельзя судить о характере и силе зависимости, если неизвестно, что она линейная.
Шкала значений такая: \(\mathrm{r} = 1\) — жёсткая положительная линейная связь (все значения пары лежат на возрастающей прямой \(Y = aX + b\) при \(a > 0\)), \(\mathrm{r} = -1\) — жёсткая отрицательная связь (\(a < 0\)), значения внутри промежутка \((-1;\ 1)\) — нежёсткая линейная связь, и она тем сильнее, чем ближе коэффициент к концам промежутка, а \(\mathrm{r} = 0\) — отсутствие линейной связи.
Ответ: Коэффициент корреляции отражает только линейную связь между случайными величинами; о нелинейной зависимости он ничего не говорит.
Нет, не может: коэффициент корреляции всегда удовлетворяет неравенству \(-1 \leqslant \mathrm{r}(X,\ Y) \leqslant 1\).
Граница берётся из свойства 6 ковариации: \(|\mathrm{cov}(X,\ Y)| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\). Разделим обе части этого неравенства на положительное число \(\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\) — слева окажется как раз модуль коэффициента корреляции:
\[|\mathrm{r}(X,\ Y)| = \frac{|\mathrm{cov}(X,\ Y)|}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}} \leqslant 1.\]
Число 3 в промежуток от \(-1\) до 1 не попадает, поэтому значение \(\mathrm{r} = 3\) означало бы ошибку в вычислениях.
Ответ: Нет: коэффициент корреляции любых двух непостоянных случайных величин лежит между \(-1\) и 1.
Нет, нельзя. Значение \(0{,}001\) близко к нулю и говорит лишь о том, что линейной связи между величинами практически нет. О зависимости вообще оно не говорит ничего: зависимость может быть сильной, если она нелинейная.
Пример — та же пара, что и в четвёртом вопросе: величина \(X\) с симметричным распределением на значениях \(-1\), 0, 1 и \(Y = X^2\). У них коэффициент корреляции равен нулю, то есть даже меньше, чем \(0{,}001\), а зависимость жёсткая: значение \(Y\) полностью определяется значением \(X\).
Ответ: Нет, нельзя: малый коэффициент корреляции означает лишь отсутствие линейной связи, а зависимость между величинами может быть сильной нелинейной.
