Страница 280 номер 538, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Симметричная монета: подъём на 1 и спуск на 1 равновероятны, \(p = q = 0{,}5\), начальное состояние 0.
Число подъёмов за \(n\) шагов распределено биномиально с параметрами \(n\) и \(p\), откуда \(\mathrm{E}X_n = (p - q)n\) и \(\mathrm{D}X_n = 4npq\).
а) Ось блуждания — прямая \(y = (p - q)x\), вдоль которой развивается процесс. Здесь \(p - q = 0{,}5 - 0{,}5 = 0\), то есть \(\mathrm{E}X_n = 0\) при любом \(n\), поэтому ось блуждания — прямая \(y = 0\), то есть ось абсцисс.
б) Среднее расхождение с осью — стандартное отклонение состояния: \(\sqrt{\mathrm{D}X_n} = 2\sqrt{npq} = 2\sqrt{0{,}25n} = \sqrt{n}\). Размах описывается линиями \(y = (p - q)x \pm 2\sqrt{pqx}\), то есть линиями \(y = \pm\sqrt{x}\), а вместе они образуют параболу \(x = y^2\).
Ответ: а) \(y = 0\); б) \(y = \pm\sqrt{x}\) (то же самое — \(x = y^2\)).
Симметричную монету бросают раз за разом, и получается простое случайное блуждание с начальным состоянием 0: один исход броска даёт подъём на 1, другой — спуск на 1. У симметричной монеты оба исхода равновероятны, поэтому \(p = q = 0{,}5\).
Пусть \(Y_n\) — число подъёмов за \(n\) шагов. Тогда спусков будет \(n - Y_n\), а состояние равно \(X_n = 2Y_n - n\). Подъёмы — успехи в серии испытаний Бернулли, поэтому \(Y_n\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), а значит, \(\mathrm{E}Y_n = np\) и \(\mathrm{D}Y_n = npq\). Отсюда
\[\mathrm{E}X_n = 2np - n = (p - q)n \quad\text{и}\quad \mathrm{D}X_n = 4npq.\]
а) Ось блуждания — та прямая, вдоль которой развивается процесс, то есть прямая \(y = (p - q)x\). Здесь \(p - q = 0{,}5 - 0{,}5 = 0\), поэтому \(\mathrm{E}X_n = 0\) при любом \(n\): в среднем блуждание не уходит ни вверх, ни вниз. Его ось — прямая \(y = 0\), то есть ось абсцисс.
б) Среднее расхождение блуждания с осью — это стандартное отклонение состояния: \(\sqrt{\mathrm{D}X_n} = 2\sqrt{npq} = 2\sqrt{0{,}25n} = \sqrt{n}\).
Значит, размах описывается линиями \(y = (p - q)x \pm 2\sqrt{pqx}\), а с нашими вероятностями — линиями \(y = \pm\sqrt{x}\). Вместе они образуют параболу \(x = y^2\) с осью \(y = 0\).
Ответ: а) \(y = 0\); б) \(y = \pm\sqrt{x}\) (то же самое — \(x = y^2\)).
