Страница 288 номер 551, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Блуждание симметричное: каждый шаг с вероятностью \(\frac{1}{2}\) поднимает состояние на 1 и с той же вероятностью опускает на 1, начальное состояние 0. Возврат — попадание в состояние 0.
Если среди \(n\) шагов ровно \(k\) подъёмов, то \(X_n = 2k - n\) имеет ту же чётность, что и \(n\): возврат возможен только на шаге с чётным номером.
\(I_{2k}\) — индикатор возврата на шаге с номером \(2k\): он равен 1 при \(X_{2k} = 0\) и равен 0 иначе. Число возвратов за \(2n\) шагов равно \(I_2 + I_4 + \ldots + I_{2n}\), а \(m_{2n}\) — математическое ожидание этой суммы.
Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события, а из \(2^{2k}\) равновозможных последовательностей за \(2k\) шагов состояние \(X_{2k}\) равно нулю в \(C_{2k}^{k}\) случаях: \[\mathrm{E}I_{2k} = \mathrm{P}(X_{2k} = 0) = \frac{C_{2k}^{k}}{2^{2k}}.\]
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, поэтому \[m_{2n} = \frac{C_2^1}{2^2} + \frac{C_4^2}{2^4} + \ldots + \frac{C_{2n}^{n}}{2^{2n}}.\]
а) Здесь \(2n = 6\), то есть слагаемых три: \[m_6 = \frac{C_2^1}{2^2} + \frac{C_4^2}{2^4} + \frac{C_6^3}{2^6} = \frac{2}{4} + \frac{6}{16} + \frac{20}{64} = 0{,}5 + 0{,}375 + 0{,}3125 = 1{,}1875.\]
б) За \(2n + 2\) шага возврат возможен на шагах \(2,\ 4,\ \ldots,\ 2n,\ 2n + 2\), поэтому число возвратов равно \((I_2 + I_4 + \ldots + I_{2n}) + I_{2n+2}\): к числу возвратов за \(2n\) шагов прибавляется индикатор \(I_{2n+2}\).
Его ожидание \(\mathrm{E}I_{2n+2} = \mathrm{P}(X_{2n+2} = 0)\), поэтому подстановка \(k = n + 1\) в найденную вероятность даёт \[m_{2n+2} = m_{2n} + \mathrm{E}I_{2n+2} = m_{2n} + \frac{C_{2n+2}^{n+1}}{2^{2n+2}}.\]
Ответ: а) \(m_6 = 1{,}1875\); б) \(m_{2n+2} = m_{2n} + \dfrac{C_{2n+2}^{n+1}}{2^{2n+2}}\).
Простое симметричное случайное блуждание начинается из состояния 0: каждый шаг с вероятностью \(\frac{1}{2}\) поднимает состояние на 1 и с вероятностью \(\frac{1}{2}\) опускает его на 1. Возврат — это попадание блуждания в состояние 0.
Если среди \(n\) шагов ровно \(k\) подъёмов, то состояние равно \(X_n = 2k - n\), поэтому состояние \(X_n\) имеет ту же чётность, что и \(n\): возврат возможен только на шаге с чётным номером.
Обозначим через \(I_{2k}\) индикатор события «на шаге с номером \(2k\) случится возврат»: он равен 1, если \(X_{2k} = 0\), и равен 0 в противном случае. Тогда случайная величина «число возвратов за \(2n\) шагов» равна сумме \(I_2 + I_4 + \ldots + I_{2n}\).
Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события. За \(2k\) шагов получается \(2^{2k}\) равновозможных последовательностей подъёмов и спусков, а состояние \(X_{2k}\) равно нулю ровно тогда, когда среди этих шагов \(k\) подъёмов, то есть в \(C_{2k}^{k}\) случаях. Значит,
\[\mathrm{E}I_{2k} = \mathrm{P}(X_{2k} = 0) = \frac{C_{2k}^{k}}{2^{2k}}.\]
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, поэтому
\[m_{2n} = \frac{C_2^1}{2^2} + \frac{C_4^2}{2^4} + \ldots + \frac{C_{2n}^{n}}{2^{2n}}.\]
а) Здесь \(2n = 6\), то есть слагаемых три:
\[m_6 = \frac{C_2^1}{2^2} + \frac{C_4^2}{2^4} + \frac{C_6^3}{2^6} = \frac{2}{4} + \frac{6}{16} + \frac{20}{64} = 0{,}5 + 0{,}375 + 0{,}3125 = 1{,}1875.\]
б) За \(2n + 2\) шага возврат возможен на шагах с номерами \(2,\ 4,\ \ldots,\ 2n,\ 2n + 2\), поэтому число возвратов за \(2n + 2\) шага равно \((I_2 + I_4 + \ldots + I_{2n}) + I_{2n+2}\): к числу возвратов за \(2n\) шагов прибавляется один индикатор \(I_{2n+2}\).
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а \(\mathrm{E}I_{2n+2} = \mathrm{P}(X_{2n+2} = 0)\). Подставляя \(k = n + 1\) в найденную выше вероятность, получаем требуемое равенство:
\[m_{2n+2} = m_{2n} + \mathrm{E}I_{2n+2} = m_{2n} + \frac{C_{2n+2}^{n+1}}{2^{2n+2}}.\]
Ответ: а) \(m_6 = 1{,}1875\); б) \(m_{2n+2} = m_{2n} + \dfrac{C_{2n+2}^{n+1}}{2^{2n+2}}\).
