Вопросы после параграфа §61 на странице 287, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайное блуждание — это модель точки, положение которой меняется случайным образом скачками. Точка может двигаться по прямой, по плоскости или в пространстве, перемещаясь в случайном направлении в случайные моменты времени; последовательность её положений называют траекторией.

Случайными блужданиями удобно описывать процессы, подверженные случайным разнонаправленным колебаниям: броуновское движение, деление и гибель клеток, распространение дыма от костра, перемещение диких животных в поисках пищи и даже движение робота-пылесоса по комнате. В экономике случайные блуждания служат моделью биржевых цен на акции и сырьё.

Простейший случай — простое одномерное блуждание: точка ходит по числовой прямой и каждую единицу времени поднимается на 1 с вероятностью \(p\) или опускается на 1 с вероятностью \(q = 1 - p\).

Ответ: Случайное блуждание — модель движения точки, положение которой меняется случайным образом скачками (на прямой, на плоскости или в пространстве); ею описывают процессы со случайными разнонаправленными колебаниями — от броуновского движения и деления клеток до биржевых цен.

Подъём — это один шаг блуждания, за который состояние увеличивается на единицу. Его вероятность равна \(p\), и случается он сразу, на ближайшем шаге.

Переход \(a \to a + 1\) — это событие «блуждание рано или поздно окажется в состоянии \(a + 1\)». Такой переход может включать в себя промежуточные состояния и занимать сколько угодно шагов, причём блуждание успевает побывать и ниже состояния \(a\). Каждый переход — случайное событие: он либо состоится, либо не состоится, и при \(p < \frac{1}{2}\) его вероятность меньше единицы.

Пример. У траектории \(0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots\) первый шаг — подъём, он сразу перевёл блуждание из состояния 0 в состояние 1. А переход из состояния 0 в состояние 1, начатый после четвёртого шага, занял три шага: сначала спуск в \(-1\), затем подъём в 0 и только потом подъём в 1.

Ответ: Подъём — один шаг вверх на единицу, его вероятность равна \(p\); переход \(a \to a + 1\) — событие «блуждание когда-нибудь окажется в состоянии \(a + 1\)», которое может занять много шагов, пройти через промежуточные состояния, а при \(p < \frac{1}{2}\) может и вовсе не состояться.

Пусть в простом случайном блуждании с начальным состоянием \(a\) вероятность подъёма равна \(p\), а вероятность спуска равна \(q = 1 - p\). Тогда

\[\text{если } p < \frac{1}{2}, \text{ то } \mathrm{P}(a \to a + 1) = \frac{p}{q}, \text{ а если } p \geqslant \frac{1}{2}, \text{ то } \mathrm{P}(a \to a + 1) = 1.\]

Смысл теоремы такой. Если блуждание симметрично \(\left(p = q = \frac{1}{2}\right)\) или хоть немного смещено вверх \((p > q)\), то оно обязательно рано или поздно вырастет на единицу, а значит, и на любое число единиц. Если же блуждание смещено вниз, то переход на единицу вверх не является достоверным.

Пример с числами: при \(p = 0{,}4\) и \(q = 0{,}6\) вероятность перехода вверх на 1 равна \(\frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{2}{3}\), а при \(p = 0{,}5\) и при \(p = 0{,}7\) она равна 1.

Ответ: Если вероятность подъёма \(p < \frac{1}{2}\), то \(\mathrm{P}(a \to a + 1) = \frac{p}{q}\); если же \(p \geqslant \frac{1}{2}\), то \(\mathrm{P}(a \to a + 1) = 1\).

Это простое одномерное блуждание, у которого подъём и спуск равновероятны: \(p = q = \frac{1}{2}\). Пример — разность между числом выпавших орлов и решек при бросании симметричной монеты.

Подъём и спуск уравновешивают друг друга, поэтому, если начальное состояние \(X_0\) равно \(a\), то \(\mathrm{E}X_n = a\) при всех \(n\): в среднем такое блуждание никуда не уходит. Зато его размах постепенно растёт, и блуждание непредсказуемо колеблется, много раз проходя через начальное состояние. Оно попадает из любого состояния в любое другое с вероятностью 1 и обязательно возвращается в начальное состояние; блуждания с таким свойством называют возвратными.

Ответ: Симметричное одномерное блуждание — простое блуждание с равными вероятностями подъёма и спуска \(\left(p = q = \frac{1}{2}\right)\); его математическое ожидание всё время равно начальному состоянию, размах растёт, а само оно возвратно и достигает любого состояния с вероятностью 1.

У симметричного блуждания \(p = q = \frac{1}{2}\), то есть \(p \geqslant \frac{1}{2}\), и вероятность перехода вверх на 1 равна 1. Вероятность перехода вниз на 1 тоже равна 1, поэтому симметричное блуждание из любого состояния попадёт в любое другое: вероятность любого перехода \(a \to b\) равна единице.

Состояние 2024 ничем не выделено: с какого бы состояния блуждание ни начиналось, оно рано или поздно там окажется, и вероятность этого равна 1.

Достоверность события не значит, что ждать придётся недолго. При \(p = \frac{1}{2}\) математического ожидания числа шагов в переходе не существует, поэтому симметричное блуждание достигает состояния 2024 наверняка, но в среднем за бесконечное число шагов.

Ответ: Вероятность равна 1; при этом среднего числа шагов, за которое блуждание туда попадёт, не существует.