Страница 264 номер 526, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Известно, что случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы и что \(\mathrm{D}X = 4\), \(\mathrm{D}Y = 9\). Найдите: а) \(\mathrm{r}(X + Y, Y)\); б) \(\mathrm{r}(X - Y, X + Y)\); в) \(\mathrm{r}(2 - X - Y, X + Y)\).
Из независимости следует \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\), дисперсии даны: \(\mathrm{D}X = 4\), \(\mathrm{D}Y = 9\); коэффициент корреляции ищем по формуле \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}\).
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий: \(\mathrm{D}(X + Y) = 4 + 9 = 13\). Величины \(X\) и \(-Y\) тоже независимы, а \(\mathrm{D}(-Y) = (-1)^2\mathrm{D}Y = 9\), поэтому \(\mathrm{D}(X - Y) = 4 + 9 = 13\).
а) \(\mathrm{cov}(X + Y,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X + Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X) + \mathrm{cov}(Y,\ Y) = 0 + 9 = 9\), поэтому
\[\mathrm{r}(X + Y,\ Y) = \frac{9}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{9}} = \frac{9}{3\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \approx 0{,}832.\]
б) Разложим по второму аргументу: \(\mathrm{cov}(X - Y,\ X + Y) = \mathrm{cov}(X - Y,\ X) + \mathrm{cov}(X - Y,\ Y)\), где \(\mathrm{cov}(X - Y,\ X) = \mathrm{cov}(X,\ X) + \mathrm{cov}(X,\ -Y) = 4 - 0 = 4\) и \(\mathrm{cov}(X - Y,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X) - \mathrm{cov}(Y,\ Y) = 0 - 9 = -9\). Ковариация равна \(4 - 9 = -5\), поэтому
\[\mathrm{r}(X - Y,\ X + Y) = \frac{-5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = -\frac{5}{13} \approx -0{,}385.\]
в) Обозначим \(U = X + Y\); первая величина равна \(2 - U\). Дисперсии: \(\mathrm{D}U = 13\) и \(\mathrm{D}(2 - U) = (-1)^2\mathrm{D}U = 13\), ковариация \(\mathrm{cov}(2 - U,\ U) = \mathrm{cov}(U,\ 2) - \mathrm{cov}(U,\ U) = 0 - 13 = -13\), поэтому
\[\mathrm{r}(2 - U,\ U) = \frac{-13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-13}{13} = -1.\]
Между величинами \(2 - X - Y\) и \(X + Y\) жёсткая отрицательная линейная связь.
Ответ: а) \(\dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}832\); б) \(-\dfrac{5}{13}\); в) \(-1\).
Известно, что случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы и что \(\mathrm{D}X = 4\), \(\mathrm{D}Y = 9\). Найдите: а) \(\mathrm{r}(X + Y, Y)\); б) \(\mathrm{r}(X - Y, X + Y)\); в) \(\mathrm{r}(2 - X - Y, X + Y)\).
Случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы, \(\mathrm{D}X = 4\) и \(\mathrm{D}Y = 9\); из независимости следует \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\). Коэффициент корреляции ищем по формуле \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}\).
Понадобятся дисперсии суммы и разности. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий, поэтому \(\mathrm{D}(X + Y) = 4 + 9 = 13\). Для разности заметим, что \(\mathrm{D}(-Y) = (-1)^2\mathrm{D}Y = 9\), а величины \(X\) и \(-Y\) тоже независимы, поэтому \(\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}(-Y) = 4 + 9 = 13\).
а) Ковариация: \(\mathrm{cov}(X + Y,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X + Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X) + \mathrm{cov}(Y,\ Y) = 0 + 9 = 9\). Тогда
\[\mathrm{r}(X + Y,\ Y) = \frac{9}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{9}} = \frac{9}{3\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \approx 0{,}832.\]
Найденное число по модулю меньше 1, как и должно быть; связь положительная и сильная.
б) Разложим ковариацию по второму аргументу:
\[\mathrm{cov}(X - Y,\ X + Y) = \mathrm{cov}(X - Y,\ X) + \mathrm{cov}(X - Y,\ Y).\]
Первое слагаемое: \(\mathrm{cov}(X - Y,\ X) = \mathrm{cov}(X,\ X - Y) = \mathrm{cov}(X,\ X) + \mathrm{cov}(X,\ -Y) = 4 - 0 = 4\). Второе: \(\mathrm{cov}(X - Y,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X - Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X) - \mathrm{cov}(Y,\ Y) = 0 - 9 = -9\). Значит, ковариация равна \(4 - 9 = -5\), и
\[\mathrm{r}(X - Y,\ X + Y) = \frac{-5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = -\frac{5}{13} \approx -0{,}385.\]
Модуль найденного числа меньше 1; связь отрицательная и слабая.
в) Обозначим \(U = X + Y\); тогда первая величина равна \(2 - U\), то есть выражается через \(U\) линейно с отрицательным коэффициентом. Дисперсии: \(\mathrm{D}U = 13\) и \(\mathrm{D}(2 - U) = (-1)^2\mathrm{D}U = 13\). Ковариация:
\[\mathrm{cov}(2 - U,\ U) = \mathrm{cov}(U,\ 2 - U) = \mathrm{cov}(U,\ 2) - \mathrm{cov}(U,\ U) = 0 - 13 = -13.\]
Тогда
\[\mathrm{r}(2 - U,\ U) = \frac{-13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-13}{13} = -1.\]
Получилось крайнее значение: между величинами \(2 - X - Y\) и \(X + Y\) жёсткая отрицательная линейная связь.
Ответ: а) \(\dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}832\); б) \(-\dfrac{5}{13}\); в) \(-1\).
