Страница 264 номер 527, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X_1\) — число очков при первом броске кубика, \(X\) — сумма всех выброшенных очков; числа очков при остальных бросках \(X_2\), \(X_3\), … независимы и распределены так же, как \(X_1\).
\(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
При \(n\) бросках \(X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\). Каждое слагаемое, кроме \(X_1\), независимо от \(X_1\), поэтому \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \mathrm{D}X_1\), а дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий: \(\mathrm{D}X = n\mathrm{D}X_1\).
\[\mathrm{r}(X_1,\ X) = \frac{\mathrm{D}X_1}{\sqrt{\mathrm{D}X_1} \cdot \sqrt{n\mathrm{D}X_1}} = \frac{\mathrm{D}X_1}{\sqrt{n} \cdot \mathrm{D}X_1} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
а) Три броска, \(n = 3\): \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\).
б) Пять бросков, \(n = 5\): \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}447\).
в) \(n\) бросков: \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) — чем больше бросков, тем слабее линейная связь первого броска с суммой.
Ответ: а) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\); б) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\); в) \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
Игральный кубик бросают несколько раз; \(X_1\) — число очков при первом броске, \(X\) — сумма всех выброшенных очков. Числа очков при остальных бросках обозначим \(X_2\), \(X_3\), …: все они независимы и распределены так же, как \(X_1\).
Дисперсия числа очков при одном броске: \(\mathrm{E}X_1 = 3{,}5\), \(\mathrm{E}X_1^2 = \dfrac{91}{6}\), поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).
Пусть кубик бросили \(n\) раз, то есть \(X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\). Ковариация от числа бросков не зависит: каждое слагаемое, кроме \(X_1\), независимо от \(X_1\), и его ковариация с \(X_1\) равна нулю, поэтому
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \mathrm{D}X_1.\]
А вот дисперсия суммы растёт: дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий, и \(\mathrm{D}X = n\mathrm{D}X_1\). Значит,
\[\mathrm{r}(X_1,\ X) = \frac{\mathrm{D}X_1}{\sqrt{\mathrm{D}X_1} \cdot \sqrt{n\mathrm{D}X_1}} = \frac{\mathrm{D}X_1}{\sqrt{n} \cdot \mathrm{D}X_1} = \frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Коэффициент корреляции не зависит ни от дисперсии одного броска, ни от вида кубика — только от числа бросков.
а) Три броска, \(n = 3\): \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\).
б) Пять бросков, \(n = 5\): \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}447\).
в) \(n\) бросков: \(\mathrm{r}(X_1,\ X) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Чем больше бросков, тем слабее линейная связь первого броска с суммой: его вклад в сумму размывается остальными слагаемыми.
Ответ: а) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\); б) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\); в) \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
