Вопросы после параграфа §60 на странице 280, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Вообразим точку, которая стоит в целой точке числовой прямой и каждую единицу времени скачком сдвигается на единицу вправо или на единицу влево. Куда именно — заранее неизвестно: вправо она уходит с вероятностью \(p\), влево — с вероятностью \(q = 1 - p\), и шаги друг от друга не зависят.

Математически это последовательность случайных величин (состояний) \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(\ldots\), причём каждая следующая с вероятностью \(p\) на единицу больше предыдущей (подъём) и с вероятностью \(1 - p\) на единицу меньше предыдущей (спуск). Величина \(X_0\) — начальное состояние, \(X_k\) — состояние после \(k\) шагов.

Слово «одномерное» означает, что точка движется по прямой: если бы она случайно меняла координаты на плоскости, получилось бы двумерное случайное блуждание. Слово «простое» означает, что каждый шаг меняет состояние ровно на единицу, а вероятности \(p\) и \(q\) от шага к шагу не меняются.

Пример с числами. Монету бросают раз за разом и подсчитывают разность между числом выпавших орлов и решек: орёл прибавляет 1, решка вычитает 1. Здесь \(X_0 = 0\) и \(p = q = 0{,}5\), а последовательность бросков ООРРРОООРО\(\ldots\) даёт состояния \(0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots\)

Ответ: Простое одномерное случайное блуждание — это последовательность состояний \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), в которой каждое следующее состояние с вероятностью \(p\) на единицу больше предыдущего (подъём) и с вероятностью \(q = 1 - p\) на единицу меньше (спуск); точка при этом скачками перемещается по числовой прямой, каждый раз ровно на единицу.

Траектория — это путь, который точка прошла шаг за шагом, то есть последовательность состояний \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\) Одно и то же блуждание даёт разные траектории: какая получится, зависит от случая.

Траекторию удобно изображать на координатной плоскости \(tOX\): на оси абсцисс откладывают число сделанных шагов (единицы времени \(t\)), на оси ординат — состояния \(X_k\); узлы отмечают точками и соединяют отрезками.

Пример: последовательность состояний \(0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0,\ -1,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2\) — траектория блуждания из двенадцати шагов, начатого в состоянии 0. Траектория бывает и у двумерного блуждания, только там это ломаная из узла в узел по решётке, и она может иметь самопересечения.

Ответ: Траектория — последовательность состояний, которые блуждание принимает шаг за шагом, то есть путь движения точки; на координатной плоскости её изображают ломаной, у которой по горизонтали отложен номер шага, а по вертикали — состояние.

Подъём — это один шаг блуждания, за который состояние увеличивается на единицу; он случается с вероятностью \(p\). Спуск — один шаг, за который состояние уменьшается на единицу; его вероятность \(q = 1 - p\). Других шагов у простого блуждания нет, поэтому \(p + q = 1\).

Главное здесь — слово «один»: и подъём, и спуск меняют состояние ровно за один шаг и ровно на единицу. Например, у траектории \(0,\ 1,\ 2,\ 1\) первые два шага — подъёмы, а третий — спуск.

Ответ: Подъём — шаг, увеличивающий состояние на 1 (его вероятность \(p\)); спуск — шаг, уменьшающий состояние на 1 (его вероятность \(q = 1 - p\)).

Каждый шаг — либо подъём, либо спуск, третьего не дано, поэтому \(p + q = 1\) и \(p = 1 - q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\).

Ответ: Вероятность подъёма равна \(0{,}6\).

Пусть \(Y_n\) — число подъёмов за \(n\) шагов. Тогда спусков будет \(n - Y_n\), а состояние равно \(X_n = 2Y_n - n\). Подъёмы — успехи в серии испытаний Бернулли, поэтому \(Y_n\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), а значит, \(\mathrm{E}Y_n = np\) и \(\mathrm{D}Y_n = npq\). Отсюда

\[\mathrm{E}X_n = 2np - n = (p - q)n \quad\text{и}\quad \mathrm{D}X_n = 4npq.\]

Значит, стандартное отклонение состояния равно \(2\sqrt{npq}\): процесс развивается вдоль прямой \(y = (p - q)x\), а на столько единиц он в среднем отходит от неё вверх и вниз. Поэтому размах траектории описывается линиями \(y = (p - q)x \pm 2\sqrt{pqx}\), а их объединение образует параболу с наклонной осью \(y = (p - q)x\).

Пример с числами: при \(p = 0{,}8\) и \(q = 0{,}2\) будет \(p - q = 0{,}6\) и \(2\sqrt{pq} = 2\sqrt{0{,}16} = 0{,}8\), то есть размах описывается линиями \(y = 0{,}6x \pm 0{,}8\sqrt{x}\).

Ответ: Размах описывается двумя линиями \(y = (p - q)x \pm 2\sqrt{pqx}\), которые вместе образуют параболу с наклонной осью \(y = (p - q)x\).