Страница 287 номер 545, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вначале в растворе две бактерии. Каждую минуту ровно одна бактерия либо погибает, либо делится на две, и это равновероятно, поэтому число бактерий каждую минуту увеличивается на 1 или уменьшается на 1 с вероятностью \(\frac{1}{2}\): это состояние простого случайного блуждания с начальным состоянием 2 и вероятностями \(p = q = \frac{1}{2}\). Попав в состояние 0, блуждание заканчивается: делиться и погибать больше некому.
«Останется хотя бы одна бактерия» означает, что за четыре шага блуждание ни разу не побывало в состоянии 0; найдём вероятность противоположного события.
Из состояния 2 за один шаг попадают только в 1 или в 3, а на третьем шаге состояние нечётно, поэтому гибель возможна только на втором или на четвёртом шаге.
\(2,\ 1,\ 0\) — единственная траектория гибели на втором шаге, её вероятность \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
\(2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0\) и \(2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0\) — траектории гибели ровно на четвёртом шаге, вероятность каждой \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\), вместе \(\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\) — вероятность гибели популяции за четыре минуты, поэтому искомая вероятность равна \[1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625.\]
Ответ: \(0{,}625\).
В питательный раствор помещены две бактерии. Каждую минуту ровно одна из находящихся в сосуде бактерий либо погибает, либо делится на две такие же, и эти события равновероятны. Значит, каждую минуту число бактерий в растворе увеличивается на 1 или уменьшается на 1, и каждое из этих событий имеет вероятность \(\frac{1}{2}\).
Число бактерий — это состояние простого случайного блуждания с начальным состоянием 2 и вероятностями \(p = q = \frac{1}{2}\). Если блуждание попадает в состояние 0, популяция погибла и на этом всё заканчивается: делиться и погибать больше некому.
«Через четыре минуты в растворе останется хотя бы одна бактерия» означает, что за четыре шага блуждание ни разу не побывало в состоянии 0. Найдём вероятность противоположного события — популяция погибла не позже четвёртой минуты.
Из состояния 2 за один шаг можно попасть только в 1 или в 3, поэтому раньше второго шага гибель невозможна, а на третьем шаге состояние нечётно. Значит, гибель могла случиться на втором или на четвёртом шаге.
Гибель на втором шаге даёт единственная траектория \(2,\ 1,\ 0\), и её вероятность равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Гибель ровно на четвёртом шаге дают две траектории: \(2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0\) и \(2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0\). Вероятность каждой равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\), вместе — \(\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\).
Значит, вероятность гибели популяции за четыре минуты равна \(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\), а искомая вероятность равна
\[1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625.\]
Ответ: \(0{,}625\).
