Страница 287 номер 547, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}48\) — вероятность подорожания бумаги на 1 за торговый день
\(q = 0{,}52\) — вероятность удешевления бумаги на 1 за торговый день

Найти: среднее число торговых дней, за которое стоимость бумаги впервые а) опустится на 10 единиц; б) вернётся к первоначальной.

Решение:

Стоимость ценной бумаги — состояние простого случайного блуждания: каждый торговый день она растёт на 1 с вероятностью \(0{,}48\) или падает на 1 с вероятностью \(0{,}52\).

а) Падение вероятнее роста, поэтому удобно считать «подъёмом» удешевление: для перехода вниз на единицу роль вероятности подъёма играет вероятность удешевления \(0{,}52\), а роль вероятности спуска — вероятность подорожания \(0{,}48\). Так как \(0{,}52 > \frac{1}{2}\), среднее число шагов в переходе вниз на единицу существует и равно \(\frac{1}{0{,}52 - 0{,}48} = 25\) дням.

Падение на 10 единиц — это десять таких переходов, значит, в среднем оно займёт \(\frac{10}{0{,}52 - 0{,}48} = 250\) торговых дней.

б) Возвращение к первоначальной цене может и вовсе не случиться, и тогда числа дней не существует. Разберём первый день. Если бумага подорожала (вероятность \(0{,}48\)), то дальше нужен переход вниз на единицу; вероятность подорожания \(0{,}48 < \frac{1}{2}\), поэтому такой переход достоверен. Если бумага подешевела (вероятность \(0{,}52\)), то нужен переход вверх на единицу, а его вероятность равна \(\frac{p}{q} = \frac{0{,}48}{0{,}52} = \frac{12}{13}\).

По формуле полной вероятности цена когда-нибудь вернётся к первоначальной с вероятностью

\[0{,}48 \cdot 1 + 0{,}52 \cdot \frac{12}{13} = 0{,}48 + 0{,}48 = 0{,}96.\]

Значит, с вероятностью \(0{,}04\) стоимость бумаги не вернётся к первоначальной никогда. В этом случае числа дней ожидания не существует, а потому у него нет и математического ожидания.

Ответ: а) 250 торговых дней; б) среднего числа дней не существует.