Страница 276 номер 535, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная выборка из \(20\) квартир (г. Красноярск) — число проживающих и общий расход воды за месяц:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 & \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 \\ \hline 1 & 7{,}0 & 5 & 25{,}4 \\ \hline 2 & 9{,}7 & 3 & 14{,}0 \\ \hline 3 & 11{,}2 & 2 & 8{,}0 \\ \hline 3 & 0{,}0 & 2 & 10{,}3 \\ \hline 2 & 9{,}1 & 1 & 7{,}7 \\ \hline 4 & 16{,}0 & 1 & 5{,}8 \\ \hline 3 & 9{,}7 & 2 & 11{,}0 \\ \hline 3 & 14{,}9 & 3 & 11{,}5 \\ \hline 4 & 7{,}2 & 2 & 0{,}0 \\ \hline 6 & 33{,}2 & 2 & 9{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — число жильцов (чел.), массив \(y\) — расход воды (м\(^3\)).
Две квартиры с нулевым расходом — выбросы: при трёх и при двух проживающих расход не может быть нулевым, значит, за месяц наблюдений там никто не жил. Удаляем их, остаётся \(18\) наблюдений.
Связь описываем моделью линейной регрессии \(Y = aX + b + \varepsilon\), оценки коэффициентов даёт метод наименьших квадратов:
\[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\ \text{и}\ \hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}.\]
Суммы по оставшимся парам равны \(49\) и \(221{,}1\) (сумма расходов не изменилась — удалённые значения нулевые), ковариацию и стандартное отклонение \(S_x\) берём из электронной таблицы:
\[\overline{x} = \frac{49}{18} \approx 2{,}722 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{18} \approx 12{,}283 \text{ м}^3,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 7{,}5843, \qquad S_x \approx 1{,}3252, \qquad S_x^2 \approx 1{,}7562,\] \[\hat{a} = \frac{7{,}5843}{1{,}7562} \approx 4{,}319.\]
Свободный член считаем по неокруглённому угловому коэффициенту \(\hat{a} \approx 4{,}3186\):
\[\hat{b} \approx 12{,}2833 - 4{,}3186 \cdot 2{,}7222 \approx 0{,}527.\]
Ось диаграммы рассеивания — прямая \(y = 4{,}319x + 0{,}527\).
Облако точек вытянуто вдоль этой прямой — линейная связь видна и на глаз.
Угловой коэффициент \(\hat{a} \approx 4{,}319\) показывает, на сколько в среднем растёт месячный расход воды с каждым лишним жильцом: один проживающий расходует около \(4{,}3\) м\(^3\) воды в месяц. Свободный член \(\hat{b} \approx 0{,}527\) м\(^3\) — добавка, от числа жильцов не зависящая.
Ответ: уравнение линейной регрессии \(y = 4{,}319x + 0{,}527\); один проживающий расходует в среднем около \(4{,}3\) м\(^3\) воды в месяц.
Данные случайной выборки из \(20\) квартир (г. Красноярск) — число проживающих и общий расход воды за месяц; пары напечатаны двумя ярусами по десять:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 & \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 \\ \hline 1 & 7{,}0 & 5 & 25{,}4 \\ \hline 2 & 9{,}7 & 3 & 14{,}0 \\ \hline 3 & 11{,}2 & 2 & 8{,}0 \\ \hline 3 & 0{,}0 & 2 & 10{,}3 \\ \hline 2 & 9{,}1 & 1 & 7{,}7 \\ \hline 4 & 16{,}0 & 1 & 5{,}8 \\ \hline 3 & 9{,}7 & 2 & 11{,}0 \\ \hline 3 & 14{,}9 & 3 & 11{,}5 \\ \hline 4 & 7{,}2 & 2 & 0{,}0 \\ \hline 6 & 33{,}2 & 2 & 9{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — число жильцов (чел.), массив \(y\) — расход воды (м\(^3\)).
Две квартиры с нулевым расходом — выбросы: при трёх и при двух проживающих расход воды не может быть нулевым, и разумно считать, что за месяц наблюдений там никто не жил. Удаляем эти две пары, остаётся \(18\) наблюдений.
Связь описываем моделью линейной регрессии \(Y = aX + b + \varepsilon\), оценки её коэффициентов даёт метод наименьших квадратов:
\[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\ \text{и}\ \hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}.\]
Суммы по восемнадцати оставшимся парам равны \(49\) и \(221{,}1\) (сумма расходов не изменилась — удалённые значения нулевые), поэтому
\[\overline{x} = \frac{49}{18} \approx 2{,}722 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{18} \approx 12{,}283 \text{ м}^3.\]
Ковариацию и стандартное отклонение массива \(x\) находим в электронной таблице:
\[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 7{,}5843, \qquad S_x \approx 1{,}3252, \qquad S_x^2 \approx 1{,}7562,\] \[\hat{a} = \frac{7{,}5843}{1{,}7562} \approx 4{,}319.\]
Свободный член считаем по неокруглённому угловому коэффициенту \(\hat{a} \approx 4{,}3186\):
\[\hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x} \approx 12{,}2833 - 4{,}3186 \cdot 2{,}7222 \approx 0{,}527.\]
Ось диаграммы рассеивания — прямая \(y = 4{,}319x + 0{,}527\). Построим диаграмму рассеивания по восемнадцати оставшимся парам и проведём на ней эту прямую.
Облако точек вытянуто вдоль этой прямой — линейная связь между числом жильцов и расходом воды видна и на глаз.
Угловой коэффициент \(\hat{a} \approx 4{,}319\) показывает, на сколько в среднем увеличивается месячный расход воды, когда в квартире становится на одного жильца больше. Значит, один проживающий расходует в среднем около \(4{,}3\) м\(^3\) воды в месяц. Свободный член \(\hat{b} \approx 0{,}527\) м\(^3\) — небольшая добавка, от числа жильцов не зависящая.
Ответ: уравнение линейной регрессии \(y = 4{,}319x + 0{,}527\); один проживающий расходует в среднем около \(4{,}3\) м\(^3\) воды в месяц.
