Страница 261 номер 522, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании. Пусть \(X\) — число успехов, а \(I\) — индикатор успеха в первом испытании. Найдите ковариацию этих величин.
Индикаторы успеха во втором, третьем, …, \(n\)-м испытаниях обозначим \(I_2\), \(I_3\), …, \(I_n\); число успехов — сумма всех индикаторов: \(X = I + I_2 + I_3 + \ldots + I_n\).
Испытания независимы, поэтому ковариация \(I\) с каждым из индикаторов \(I_2\), …, \(I_n\) равна нулю, и по распределительному закону
\[\mathrm{cov}(I,\ X) = \mathrm{cov}(I,\ I) + \mathrm{cov}(I,\ I_2) + \ldots + \mathrm{cov}(I,\ I_n) = \mathrm{cov}(I,\ I) = \mathrm{D}I.\]
Индикатор принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и значение 0 с вероятностью \(1 - p\), поэтому \(\mathrm{E}I = p\); значения только 0 и 1, значит, \(I^2 = I\) и \(\mathrm{E}I^2 = p\).
\[\mathrm{D}I = \mathrm{E}I^2 - \mathrm{E}^2I = p - p^2 = p(1 - p).\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(I,\ X) = p(1 - p)\).
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании. Пусть \(X\) — число успехов, а \(I\) — индикатор успеха в первом испытании. Найдите ковариацию этих величин.
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании; \(X\) — число успехов во всей серии, \(I\) — индикатор успеха в первом испытании: \(I = 1\), если первое испытание закончилось успехом, и \(I = 0\) иначе.
Индикаторы успеха во втором, третьем, …, \(n\)-м испытаниях обозначим \(I_2\), \(I_3\), …, \(I_n\). Число успехов — это сумма всех индикаторов:
\[X = I + I_2 + I_3 + \ldots + I_n.\]
Испытания независимы, поэтому ковариация \(I\) с каждым из индикаторов \(I_2\), …, \(I_n\) равна нулю, и по распределительному закону
\[\mathrm{cov}(I,\ X) = \mathrm{cov}(I,\ I) + \mathrm{cov}(I,\ I_2) + \ldots + \mathrm{cov}(I,\ I_n) = \mathrm{cov}(I,\ I) = \mathrm{D}I.\]
Осталось найти дисперсию индикатора. Он принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и значение 0 с вероятностью \(1 - p\), поэтому \(\mathrm{E}I = p\). Величина \(I\) принимает только значения 0 и 1, значит, \(I^2 = I\) и \(\mathrm{E}I^2 = p\). Тогда
\[\mathrm{D}I = \mathrm{E}I^2 - \mathrm{E}^2I = p - p^2 = p(1 - p).\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(I,\ X) = p(1 - p)\).
