Страница 268 номер 530, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Четыре пары совместных наблюдений, \(n = 4\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 2 & 5 & 1 \\ \hline y & 7{,}56 & -1{,}23 & 8{,}12 & 0{,}31 \\ \hline \end{array}\] \[\overline{x} = \frac{4 + 2 + 5 + 1}{4} = 3, \qquad \overline{y} = \frac{7{,}56 - 1{,}23 + 8{,}12 + 0{,}31}{4} = \frac{14{,}76}{4} = 3{,}69.\]
Отклонения массива \(x\) равны \(1\); \(-1\); \(2\); \(-2\), отклонения массива \(y\) равны \(3{,}87\); \(-4{,}92\); \(4{,}43\); \(-3{,}38\), сумма их произведений:
\[1 \cdot 3{,}87 + (-1) \cdot (-4{,}92) + 2 \cdot 4{,}43 + (-2) \cdot (-3{,}38) = 3{,}87 + 4{,}92 + 8{,}86 + 6{,}76 = 24{,}41.\]
Выборочная ковариация — эта сумма, делённая на \(n - 1 = 3\):
\[\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) = \frac{24{,}41}{3} \approx 8{,}137.\]
Стандартные отклонения тоже выборочные, с тем же знаменателем \(3\):
\[S_{\text{в},\,x} = \sqrt{\frac{1 + 1 + 4 + 4}{3}} = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1{,}826,\] \[S_{\text{в},\,y} = \sqrt{\frac{3{,}87^2 + 4{,}92^2 + 4{,}43^2 + 3{,}38^2}{3}} = \sqrt{\frac{70{,}2326}{3}} \approx 4{,}838.\]
Коэффициент корреляции от этого не меняется — множитель \(\dfrac{n}{n - 1}\) сокращается; делим, не округляя промежуточных значений:
\[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{8{,}1367}{1{,}8257 \cdot 4{,}8385} \approx 0{,}921.\]
б) Двенадцать пар совместных наблюдений, \(n = 12\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 4 & 4 & 4 & 5 & 2 \\ \hline y & 0{,}221 & 1{,}099 & 0{,}730 & 1{,}933 & 1{,}214 & 1{,}616 \\ \hline x & 5 & 9 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \hline y & 0{,}361 & 1{,}832 & 0{,}494 & 1{,}707 & 0{,}821 & 0{,}610 \\ \hline \end{array}\]
Суммы массивов равны \(53\) и \(12{,}638\):
\[\overline{x} = \frac{53}{12} \approx 4{,}417, \qquad \overline{y} = \frac{12{,}638}{12} \approx 1{,}053.\]
Средние не выражаются конечными десятичными дробями, поэтому ковариацию считаем через среднее произведение. Произведения \(x_ky_k\) равны \(2{,}21\); \(4{,}396\); \(2{,}92\); \(7{,}732\); \(6{,}07\); \(3{,}232\); \(1{,}805\); \(16{,}488\); \(0{,}494\); \(3{,}414\); \(3{,}284\); \(1{,}83\), их сумма равна \(53{,}875\), значит, \(\overline{xy} = \dfrac{53{,}875}{12}\) и
\[\mathrm{cov}(x,\ y) = \overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y} = \frac{53{,}875}{12} - \frac{53}{12} \cdot \frac{12{,}638}{12} = \frac{646{,}5 - 669{,}814}{144} = -\frac{23{,}314}{144} \approx -0{,}162,\] \[\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) = \frac{12}{11}\,\mathrm{cov}(x,\ y) = -\frac{23{,}314}{132} \approx -0{,}177.\]
Сумма квадратов \(x_k\) равна \(313\), сумма квадратов \(y_k\) равна \(17{,}301854\):
\[S_{\text{в},\,x} = \sqrt{\frac{12}{11}\left(\frac{313}{12} - \left(\frac{53}{12}\right)^2\right)} = \sqrt{\frac{12}{11} \cdot \frac{947}{144}} = \sqrt{\frac{947}{132}} \approx 2{,}678,\] \[S_{\text{в},\,y} = \sqrt{\frac{12}{11}\left(\frac{17{,}301854}{12} - \left(\frac{12{,}638}{12}\right)^2\right)} = \sqrt{\frac{47{,}903204}{132}} \approx 0{,}602,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{-0{,}1766}{2{,}6785 \cdot 0{,}6024} \approx -0{,}109.\]
Проверка: оба коэффициента лежат между \(-1\) и \(1\): \(0{,}921 < 1\) и \(|{-0{,}109}| < 1\).
Ответ: а) выборочная ковариация \(\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) \approx 8{,}137\), коэффициент корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}921\); б) выборочная ковариация \(\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) \approx -0{,}177\), коэффициент корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx -0{,}109\).
а) Четыре пары совместных наблюдений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 2 & 5 & 1 \\ \hline y & 7{,}56 & -1{,}23 & 8{,}12 & 0{,}31 \\ \hline \end{array}\]
Здесь \(n = 4\), и средние значения массивов равны
\[\overline{x} = \frac{4 + 2 + 5 + 1}{4} = 3, \qquad \overline{y} = \frac{7{,}56 - 1{,}23 + 8{,}12 + 0{,}31}{4} = \frac{14{,}76}{4} = 3{,}69.\]
Выборочная ковариация — это сумма произведений отклонений, делённая на \(n - 1 = 3\):
\[\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) = \frac{(x_1 - \overline{x})(y_1 - \overline{y}) + \ldots + (x_4 - \overline{x})(y_4 - \overline{y})}{n - 1}.\]
Отклонения массива \(x\) равны \(1\); \(-1\); \(2\); \(-2\), отклонения массива \(y\) равны \(3{,}87\); \(-4{,}92\); \(4{,}43\); \(-3{,}38\). Сумма произведений отклонений:
\[1 \cdot 3{,}87 + (-1) \cdot (-4{,}92) + 2 \cdot 4{,}43 + (-2) \cdot (-3{,}38) = 3{,}87 + 4{,}92 + 8{,}86 + 6{,}76 = 24{,}41.\] \[\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) = \frac{24{,}41}{3} \approx 8{,}137.\]
Стандартные отклонения берём тоже выборочные — с тем же знаменателем \(3\):
\[S_{\text{в},\,x} = \sqrt{\frac{1 + 1 + 4 + 4}{3}} = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1{,}826,\] \[S_{\text{в},\,y} = \sqrt{\frac{3{,}87^2 + 4{,}92^2 + 4{,}43^2 + 3{,}38^2}{3}} = \sqrt{\frac{70{,}2326}{3}} \approx 4{,}838.\]
Коэффициент корреляции не зависит от того, выборочные характеристики взяты или обычные: множитель \(\dfrac{n}{n - 1}\) в числителе и в знаменателе дроби сокращается. Делим, не округляя промежуточных значений:
\[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y)}{S_{\text{в},\,x} \cdot S_{\text{в},\,y}} = \frac{8{,}1367}{1{,}8257 \cdot 4{,}8385} \approx 0{,}921.\]
б) Двенадцать пар совместных наблюдений (два яруса по шесть пар):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 4 & 4 & 4 & 5 & 2 \\ \hline y & 0{,}221 & 1{,}099 & 0{,}730 & 1{,}933 & 1{,}214 & 1{,}616 \\ \hline x & 5 & 9 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \hline y & 0{,}361 & 1{,}832 & 0{,}494 & 1{,}707 & 0{,}821 & 0{,}610 \\ \hline \end{array}\]
Здесь \(n = 12\), суммы массивов равны \(53\) и \(12{,}638\), поэтому
\[\overline{x} = \frac{53}{12} \approx 4{,}417, \qquad \overline{y} = \frac{12{,}638}{12} \approx 1{,}053.\]
Средние здесь не выражаются конечными десятичными дробями, поэтому ковариацию считаем по второй записи — через среднее произведение. Произведения \(x_ky_k\) равны \(2{,}21\); \(4{,}396\); \(2{,}92\); \(7{,}732\); \(6{,}07\); \(3{,}232\); \(1{,}805\); \(16{,}488\); \(0{,}494\); \(3{,}414\); \(3{,}284\); \(1{,}83\), их сумма равна \(53{,}875\), значит, \(\overline{xy} = \dfrac{53{,}875}{12}\) и
\[\mathrm{cov}(x,\ y) = \overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y} = \frac{53{,}875}{12} - \frac{53}{12} \cdot \frac{12{,}638}{12} = \frac{646{,}5 - 669{,}814}{144} = -\frac{23{,}314}{144} \approx -0{,}162.\]
Выборочная ковариация отличается от обычной только знаменателем, то есть множителем \(\dfrac{12}{11}\):
\[\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) = \frac{12}{11}\,\mathrm{cov}(x,\ y) = -\frac{23{,}314}{132} \approx -0{,}177.\]
Так же находим стандартные отклонения. Сумма квадратов \(x_k\) равна \(313\), сумма квадратов \(y_k\) равна \(17{,}301854\), поэтому
\[S_{\text{в},\,x} = \sqrt{\frac{12}{11}\left(\frac{313}{12} - \left(\frac{53}{12}\right)^2\right)} = \sqrt{\frac{12}{11} \cdot \frac{947}{144}} = \sqrt{\frac{947}{132}} \approx 2{,}678,\] \[S_{\text{в},\,y} = \sqrt{\frac{12}{11}\left(\frac{17{,}301854}{12} - \left(\frac{12{,}638}{12}\right)^2\right)} = \sqrt{\frac{47{,}903204}{132}} \approx 0{,}602.\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y)}{S_{\text{в},\,x} \cdot S_{\text{в},\,y}} = \frac{-0{,}1766}{2{,}6785 \cdot 0{,}6024} \approx -0{,}109.\]
Проверка: коэффициент корреляции обязан лежать между \(-1\) и \(1\). Оба найденных значения этому условию отвечают: \(0{,}921 < 1\) и \(|{-0{,}109}| < 1\).
Ответ: а) выборочная ковариация \(\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) \approx 8{,}137\), коэффициент корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}921\); б) выборочная ковариация \(\mathrm{cov}_{\text{в}}(x,\ y) \approx -0{,}177\), коэффициент корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx -0{,}109\).
