Страница 287 номер 544, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Каждый шаг поднимает точку на 1 или опускает на 1, и эти исходы равновероятны: \(p = q = \frac{1}{2}\), начальное состояние 0. Известно, что через четыре шага точка снова оказалась в состоянии 0; нужна вероятность того, что она была в нём и после двух шагов.
За четыре шага получается \(2^4 = 16\) равновозможных последовательностей. Состояние \(X_4\) равно нулю тогда и только тогда, когда среди четырёх шагов ровно два подъёма, а таких последовательностей \(C_4^2 = 6\):
\[0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0;\] \[0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ -1,\ 0,\ -1,\ 0; \qquad 0,\ -1,\ -2,\ -1,\ 0.\]
Все шесть траекторий равновероятны, и после двух шагов в состоянии 0 оказываются четыре из них: у первой \(X_2 = 2\), у последней \(X_2 = -2\), у остальных \(X_2 = 0\). Значит, \[\mathrm{P}(X_2 = 0 \mid X_4 = 0) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: \(\frac{2}{3}\).
Точка начинает целочисленное случайное блуждание из состояния 0: каждый шаг поднимает её на 1 или опускает на 1, и эти исходы равновероятны, то есть \(p = q = \frac{1}{2}\). Известно, что через 4 шага точка снова оказалась в состоянии 0, и надо найти вероятность того, что после двух шагов она тоже была в состоянии 0.
За четыре шага получается \(2^4 = 16\) равновозможных последовательностей подъёмов и спусков, у каждой вероятность \(\frac{1}{16}\). Состояние \(X_4\) равно нулю тогда и только тогда, когда среди четырёх шагов ровно два подъёма, а таких последовательностей \(C_4^2 = 6\). Выпишем отвечающие им траектории:
\[0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0;\] \[0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0; \qquad 0,\ -1,\ 0,\ -1,\ 0; \qquad 0,\ -1,\ -2,\ -1,\ 0.\]
Все шесть траекторий равновероятны. После двух шагов в состоянии 0 оказываются четыре из них: у первой траектории \(X_2 = 2\), у последней \(X_2 = -2\), а у всех остальных \(X_2 = 0\). Значит,
\[\mathrm{P}(X_2 = 0 \mid X_4 = 0) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: \(\frac{2}{3}\).
