Страница 287 номер 546, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(p = 0{,}6\), \(q = 1 - p = 0{,}4\), начальное состояние 0.
а) \(Z\) — число шагов в переходе вверх на единицу; здесь \(p > \frac{1}{2}\), поэтому математическое ожидание существует: \[\mathrm{E}Z = \frac{1}{p - q} = \frac{1}{0{,}6 - 0{,}4} = 5.\]
б) Переход \(0 \to 2024\) — это 2024 перехода вверх на единицу по 5 шагов в среднем: \(\frac{2024}{p - q} = \frac{2024}{0{,}2} = 10\,120\) (шагов).
в) Переход \(0 \to -10\) — это десять переходов вниз на единицу, а для перехода вниз роль вероятности подъёма играет вероятность спуска \(q = 0{,}4 \leqslant \frac{1}{2}\): при таком условии математического ожидания числа шагов не существует.
К тому же вероятность самого перехода равна \(\left(\frac{q}{p}\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \approx 0{,}017\): с вероятностью около \(0{,}983\) блуждание в состоянии \(-10\) не окажется никогда, и числа шагов тогда нет вовсе.
Ответ: а) 5 шагов; б) \(10\,120\) шагов; в) математического ожидания числа шагов не существует.
В простом бесконечном случайном блуждании вероятность подъёма \(p = 0{,}6\), вероятность спуска \(q = 1 - p = 0{,}4\), начальное состояние 0.
а) Пусть \(Z\) — число шагов в переходе вверх на единицу. Здесь \(p > \frac{1}{2}\), поэтому математическое ожидание существует и равно
\[\mathrm{E}Z = \frac{1}{p - q} = \frac{1}{0{,}6 - 0{,}4} = 5.\]
б) Переход \(0 \to 2024\) состоит из 2024 переходов вверх на единицу, и каждый занимает в среднем 5 шагов. Значит, в среднем потребуется \(\frac{2024}{p - q} = \frac{2024}{0{,}2} = 10\,120\) шагов.
в) Переход \(0 \to -10\) состоит из десяти переходов вниз на единицу. Для перехода вниз роль вероятности подъёма играет вероятность спуска \(q = 0{,}4\), а она не больше \(\frac{1}{2}\); при таком условии математического ожидания числа шагов не существует.
Есть и более наглядный довод. Вероятность самого перехода равна \(\left(\frac{q}{p}\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \approx 0{,}017\), то есть с вероятностью около \(0{,}983\) блуждание в состоянии \(-10\) не окажется никогда. Числа шагов в этом случае не существует вовсе, а потому нет и математического ожидания.
Ответ: а) 5 шагов; б) \(10\,120\) шагов; в) математического ожидания числа шагов не существует.
