Страница 261 номер 523, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают два раза. Найдите ковариацию величин число, выпавшее при первом броске и наибольшее из выпавших очков.
\(X\) — число, выпавшее при первом броске, \(Y\) — наибольшее из выпавших очков, \(Z\) — число очков при втором броске. Наибольшее из двух чисел в сумму величин \(X\) и \(Z\) не раскладывается, поэтому свойства ковариации не помогают и считаем по формуле \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\).
Все 36 пар «первый бросок — второй бросок» равновероятны, вероятность каждой равна \(\dfrac{1}{36}\); в клетках стоит значение \(Y\), строки отвечают числу очков \(X\), столбцы — числу очков \(Z\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Z & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\ \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\]
\(\mathrm{E}X = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\).
Значение \(m\) стоит в \(m\) клетках \(m\)-й строки и в \(m - 1\) клетках \(m\)-го столбца, всего в \(2m - 1\) клетках, поэтому \(\mathrm{P}(Y = m) = \dfrac{2m - 1}{36}\) и
\[\mathrm{E}Y = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{161}{36}.\]
Суммы значений по строкам равны 21, 22, 24, 27, 31 и 36, а строка с номером \(x\) даёт \(x\), умноженное на свою сумму:
\[\begin{aligned} &1 \cdot 21 + 2 \cdot 22 + 3 \cdot 24 + 4 \cdot 27 + 5 \cdot 31 + 6 \cdot 36 = {} \\ &= 21 + 44 + 72 + 108 + 155 + 216 = 616. \end{aligned}\]
Значит, \(\mathrm{E}(XY) = \dfrac{616}{36} = \dfrac{154}{9}\).
\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \frac{154}{9} - 3{,}5 \cdot \frac{161}{36} = \frac{1232}{72} - \frac{1127}{72} = \frac{105}{72} = \frac{35}{24} \approx 1{,}458.\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \dfrac{35}{24} \approx 1{,}458\).
Игральный кубик бросают два раза. Найдите ковариацию величин число, выпавшее при первом броске и наибольшее из выпавших очков.
Игральный кубик бросают два раза. Величина \(X\) — число, выпавшее при первом броске, величина \(Y\) — наибольшее из выпавших очков; число очков при втором броске обозначим \(Z\).
Свойства ковариации здесь не помогают: наибольшее из двух чисел не раскладывается в сумму величин \(X\) и \(Z\). Считаем по формуле \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\), а совместное распределение читаем по таблице исходов: все 36 пар «первый бросок — второй бросок» равновероятны, вероятность каждой равна \(\dfrac{1}{36}\). В клетках стоит значение \(Y\); строки отвечают числу очков \(X\) при первом броске, столбцы — числу очков \(Z\) при втором.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Z & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\ \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Математическое ожидание числа очков при одном броске: \(\mathrm{E}X = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\).
Распределение \(Y\) видно по таблице: значение \(m\) стоит в \(m\) клетках \(m\)-й строки и в \(m - 1\) клетках \(m\)-го столбца, всего в \(2m - 1\) клетках, поэтому \(\mathrm{P}(Y = m) = \dfrac{2m - 1}{36}\) и
\[\mathrm{E}Y = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{161}{36}.\]
Для \(\mathrm{E}(XY)\) сложим произведения \(XY\) по всем 36 клеткам. В строке с номером \(x\) каждое произведение равно \(x\), умноженному на стоящее в клетке значение \(Y\), поэтому вся строка даёт \(x\), умноженное на сумму значений этой строки. Суммы по строкам равны 21, 22, 24, 27, 31 и 36, значит,
\[\begin{aligned} &1 \cdot 21 + 2 \cdot 22 + 3 \cdot 24 + 4 \cdot 27 + 5 \cdot 31 + 6 \cdot 36 = {} \\ &= 21 + 44 + 72 + 108 + 155 + 216 = 616. \end{aligned}\]
Значит, \(\mathrm{E}(XY) = \dfrac{616}{36} = \dfrac{154}{9}\). Тогда
\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \frac{154}{9} - 3{,}5 \cdot \frac{161}{36} = \frac{1232}{72} - \frac{1127}{72} = \frac{105}{72} = \frac{35}{24} \approx 1{,}458.\]
Ковариация положительна: чем больше очков выпало при первом броске, тем, скорее всего, больше и наибольшее из двух выпавших чисел.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \dfrac{35}{24} \approx 1{,}458\).
