Страница 264 номер 525, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Коэффициент линейной корреляции ищем по формуле \(\mathrm{r}(X,\ Y) = \dfrac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}}\). Величина \(X\) непостоянна — иначе коэффициент корреляции не определён, — поэтому \(\mathrm{D}X > 0\).

а) \(Y = 3X - 2\). Ковариация:

\[\mathrm{cov}(X,\ 3X - 2) = \mathrm{cov}(X,\ 3X) + \mathrm{cov}(X,\ -2) = 3\,\mathrm{cov}(X,\ X) + 0 = 3\mathrm{D}X.\]

Дисперсия: \(\mathrm{D}Y = \mathrm{D}(3X - 2) = 3^2\mathrm{D}X = 9\mathrm{D}X\), поэтому \(\sqrt{\mathrm{D}Y} = 3\sqrt{\mathrm{D}X}\). Тогда

\[\mathrm{r}(X,\ Y) = \frac{3\mathrm{D}X}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot 3\sqrt{\mathrm{D}X}} = \frac{3\mathrm{D}X}{3\mathrm{D}X} = 1.\]

Связь жёсткая положительная — значения пары лежат на возрастающей прямой.

б) \(Y = 4 - 2X\). Ковариация:

\[\mathrm{cov}(X,\ 4 - 2X) = \mathrm{cov}(X,\ 4) + \mathrm{cov}(X,\ -2X) = 0 - 2\,\mathrm{cov}(X,\ X) = -2\mathrm{D}X.\]

Дисперсия: \(\mathrm{D}Y = \mathrm{D}(4 - 2X) = (-2)^2\mathrm{D}X = 4\mathrm{D}X\), поэтому \(\sqrt{\mathrm{D}Y} = 2\sqrt{\mathrm{D}X}\): квадратный корень неотрицателен, и множитель перед ним равен \(|{-2}| = 2\), а не \(-2\). Тогда

\[\mathrm{r}(X,\ Y) = \frac{-2\mathrm{D}X}{\sqrt{\mathrm{D}X} \cdot 2\sqrt{\mathrm{D}X}} = \frac{-2\mathrm{D}X}{2\mathrm{D}X} = -1.\]

Минус в ответе приходит из ковариации, а не из корня. Связь жёсткая отрицательная.

Ответ: а) \(\mathrm{r}(X,\ Y) = 1\); б) \(\mathrm{r}(X,\ Y) = -1\).