Страница 261 номер 519, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают несколько раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — сумма очков. Найдите ковариацию этих величин, если кубик бросили: а) два раза; б) три раза; в) много раз.
Числа очков при бросках \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), … независимы и распределены одинаково; \(X\) — сумма всех выпавших очков.
\[\mathrm{E}X_1 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5, \quad \mathrm{E}X_1^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6},\] \[\mathrm{D}X_1 = \mathrm{E}X_1^2 - \mathrm{E}^2X_1 = \frac{91}{6} - 12{,}25 = \frac{35}{12}.\]
а) \(X = X_1 + X_2\), и по распределительному закону \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_2)\). Броски независимы, поэтому \(\mathrm{cov}(X_1,\ X_2) = 0\) и остаётся \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{D}X_1 = \dfrac{35}{12}\).
б) \(X = X_1 + X_2 + X_3\):
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_2) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_3) = \mathrm{D}X_1 + 0 + 0 = \frac{35}{12}.\]
в) \(X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\): каждое слагаемое, кроме \(X_1\), независимо от \(X_1\), и его ковариация с \(X_1\) равна нулю, поэтому и здесь \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{D}X_1 = \dfrac{35}{12}\).
Во всех трёх пунктах результат один: в сумме очков с первым броском связано единственное слагаемое — сам первый бросок.
Ответ: а) \(\dfrac{35}{12}\); б) \(\dfrac{35}{12}\); в) \(\dfrac{35}{12}\).
Игральный кубик бросают несколько раз. Пусть \(X_1\) — число очков при первом броске, а \(X\) — сумма очков. Найдите ковариацию этих величин, если кубик бросили: а) два раза; б) три раза; в) много раз.
Игральный кубик бросают несколько раз; \(X_1\) — число очков при первом броске, \(X\) — сумма всех выпавших очков. Числа очков при втором, третьем и следующих бросках обозначим \(X_2\), \(X_3\), …: все эти величины независимы и распределены так же, как \(X_1\).
Сначала найдём дисперсию числа очков при одном броске. Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадает с вероятностью \(\dfrac{1}{6}\), поэтому
\[\mathrm{E}X_1 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5, \quad \mathrm{E}X_1^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6},\] \[\mathrm{D}X_1 = \mathrm{E}X_1^2 - \mathrm{E}^2X_1 = \frac{91}{6} - 12{,}25 = \frac{35}{12}.\]
а) Кубик бросили два раза, \(X = X_1 + X_2\). По распределительному закону
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1 + X_2) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_2).\]
Величины \(X_1\) и \(X_2\) независимы, поэтому \(\mathrm{cov}(X_1,\ X_2) = 0\), и остаётся \(\mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \mathrm{D}X_1 = \dfrac{35}{12}\).
б) Кубик бросили три раза, \(X = X_1 + X_2 + X_3\). Распределительный закон, применённый дважды, даёт
\[\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_2) + \mathrm{cov}(X_1,\ X_3) = \mathrm{D}X_1 + 0 + 0 = \frac{35}{12}.\]
в) Кубик бросили много раз, \(X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\). Рассуждение не меняется: каждое слагаемое, кроме \(X_1\), независимо от \(X_1\), и его ковариация с \(X_1\) равна нулю. Значит, и здесь \(\mathrm{cov}(X_1,\ X) = \mathrm{cov}(X_1,\ X_1) = \mathrm{D}X_1 = \dfrac{35}{12}\).
Ответ во всех трёх пунктах один, и это не потеря пунктов: в сумме очков с первым броском связано единственное слагаемое — сам первый бросок, а остальные броски на ковариацию не влияют, сколько бы их ни было.
Ответ: а) \(\dfrac{35}{12}\); б) \(\dfrac{35}{12}\); в) \(\dfrac{35}{12}\).
