Страница 280 номер 539, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

На координатной плоскости строятся траектории простого одномерного случайного блуждания с вероятностью подъёма \(p = 0{,}6\); тогда вероятность спуска \(q = 1 - p = 0{,}4\) и \(p - q = 0{,}2\). Начальное состояние в каждом пункте своё, и для каждого нужно уравнение оси блуждания.

Пусть начальное состояние равно \(a\), а \(Y_n\) — число подъёмов за \(n\) шагов. Тогда спусков будет \(n - Y_n\), и состояние после \(n\) шагов равно \(X_n = a + 2Y_n - n\). Число подъёмов имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), поэтому \(\mathrm{E}Y_n = np\) и

\[\mathrm{E}X_n = a + 2np - n = a + (2p - 1)n = a + (p - q)n = a + 0{,}2n.\]

Значит, траектории развиваются вдоль прямой \(y = 0{,}2x + a\): наклон у всех таких блужданий один и тот же, а начальное состояние поднимает эту прямую на \(a\).

а) При начальном состоянии 0 ось блуждания — прямая \(y = 0{,}2x\).

б) При начальном состоянии 1 ось блуждания — прямая \(y = 0{,}2x + 1\).

в) При начальном состоянии \(-3\) ось блуждания — прямая \(y = 0{,}2x - 3\).

г) При начальном состоянии \(a\) ось блуждания — прямая \(y = 0{,}2x + a\).

Ответ: а) \(y = 0{,}2x\); б) \(y = 0{,}2x + 1\); в) \(y = 0{,}2x - 3\); г) \(y = 0{,}2x + a\).