Страница 261 номер 518, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите свойство \[\mathrm{cov}(aX, Y) = \mathrm{cov}(X, aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X, Y).\]
Здесь \(a\) — число. Понадобится свойство математического ожидания: постоянный множитель выносится за его знак, то есть \(\mathrm{E}(aX) = a\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}(aXY) = a\mathrm{E}(XY)\).
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{E}(aXY) - \mathrm{E}(aX) \cdot \mathrm{E}Y = a\mathrm{E}(XY) - a\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = {} \\ &= a\bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y). \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ aY) = \mathrm{E}(aXY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}(aY) = a\mathrm{E}(XY) - a\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = {} \\ &= a\bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y). \end{aligned}\]
Обе ковариации равны одному и тому же числу \(a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\), значит, они равны и между собой.
Ответ: \(\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{cov}(X,\ aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\).
Докажите свойство \[\mathrm{cov}(aX, Y) = \mathrm{cov}(X, aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X, Y).\]
Докажем оба равенства: \(\mathrm{cov}(aX,\ Y) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\) и \(\mathrm{cov}(X,\ aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\), где \(a\) — число.
Понадобится свойство математического ожидания: постоянный множитель выносится за его знак, то есть \(\mathrm{E}(aX) = a\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}(aXY) = a\mathrm{E}(XY)\).
Вынесем множитель из первого аргумента:
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{E}(aXY) - \mathrm{E}(aX) \cdot \mathrm{E}Y = a\mathrm{E}(XY) - a\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = {} \\ &= a\bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y). \end{aligned}\]
Так же со вторым аргументом:
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ aY) = \mathrm{E}(aXY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}(aY) = a\mathrm{E}(XY) - a\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = {} \\ &= a\bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y). \end{aligned}\]
Обе ковариации равны одному и тому же числу \(a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\), значит, они равны и между собой.
Ответ: \(\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{cov}(X,\ aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\).
