Страница 276 номер 533, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(\overline{x} = 3{,}4\)
\(\overline{y} = -1{,}25\)
\(\mathrm{r}_{x,\,y} = 0{,}83\)
\(S_x = 1{,}15\)
\(S_y = 0{,}18\)
Найти: уравнение линейной регрессии \(y = \hat{a}x + \hat{b}\).
Решение:
Метод наименьших квадратов даёт \(\hat{a} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\) и \(\hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}\), а ковариацию находим обратным ходом из \(\mathrm{r}_{x,\,y} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}\):
\[\mathrm{cov}(x,\ y) = \mathrm{r}_{x,\,y} \cdot S_x \cdot S_y = 0{,}83 \cdot 1{,}15 \cdot 0{,}18 = 0{,}17181,\] \[\hat{a} = \frac{0{,}17181}{1{,}15^2} = \frac{0{,}17181}{1{,}3225} \approx 0{,}130.\]
Свободный член считаем по неокруглённому угловому коэффициенту \(\hat{a} \approx 0{,}12991\):
\[\hat{b} \approx -1{,}25 - 0{,}12991 \cdot 3{,}4 \approx -1{,}692.\]
Угловой коэффициент положителен — связь положительная, что согласуется с положительным коэффициентом корреляции \(0{,}83\).
Ответ: \(y = 0{,}130x - 1{,}692\).
Дано:
\(\overline{x} = 3{,}4\)
\(\overline{y} = -1{,}25\)
\(\mathrm{r}_{x,\,y} = 0{,}83\)
\(S_x = 1{,}15\)
\(S_y = 0{,}18\)
Найти: уравнение линейной регрессии \(y = \hat{a}x + \hat{b}\).
Решение:
Случайные величины \(X\) и \(Y\) связаны моделью линейной регрессии \(Y = aX + b + \varepsilon\), и по совместным наблюдениям надо оценить её коэффициенты. Метод наименьших квадратов даёт для них выборочные оценки
\[\hat{a} = \frac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x^2}\ \text{и}\ \hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x}.\]
Самих массивов \(x\) и \(y\) здесь нет, но ковариация находится обратным ходом из определения коэффициента корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}\):
\[\mathrm{cov}(x,\ y) = \mathrm{r}_{x,\,y} \cdot S_x \cdot S_y = 0{,}83 \cdot 1{,}15 \cdot 0{,}18 = 0{,}17181.\] \[\hat{a} = \frac{0{,}17181}{1{,}15^2} = \frac{0{,}17181}{1{,}3225} \approx 0{,}130.\]
Свободный член считаем по неокруглённому угловому коэффициенту \(\hat{a} \approx 0{,}12991\):
\[\hat{b} = \overline{y} - \hat{a} \cdot \overline{x} \approx -1{,}25 - 0{,}12991 \cdot 3{,}4 \approx -1{,}692.\]
Уравнение прямой: \(y = 0{,}130x - 1{,}692\). Угловой коэффициент положителен — связь между величинами положительная, что согласуется с положительным коэффициентом корреляции \(0{,}83\).
Ответ: \(y = 0{,}130x - 1{,}692\).
