Страница 288 номер 550, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Муха ползёт из точки \((0;\ 3)\): с вероятностью \(p\) на единицу вверх, с вероятностью \(q = 1 - p\) — на единицу вправо; прямой \(y = x + 1\) она достигает с вероятностью \(\frac{4}{9}\).
Следить будем за разностью \(D = y - x\): шаг вверх увеличивает \(D\) на 1, шаг вправо уменьшает \(D\) на 1, других шагов у мухи нет. Значит, \(D\) — состояние простого одномерного случайного блуждания с вероятностью подъёма \(p\) и вероятностью спуска \(q\), а начальное состояние равно \(D = 3 - 0 = 3\).
Муха оказывается на прямой \(y = x + 1\) ровно при \(D = 1\), а на прямой \(y = x\) — ровно при \(D = 0\): речь о переходах \(3 \to 1\) и \(3 \to 0\), то есть о спуске на две и на три единицы.
Переход вниз на \(k\) единиц достоверен при \(p \leqslant \frac{1}{2}\), а при \(p > \frac{1}{2}\) его вероятность равна \(\left(\frac{q}{p}\right)^{k}\). Вероятность перехода \(3 \to 1\) равна \(\frac{4}{9}\), то есть меньше единицы, поэтому \(p > \frac{1}{2}\) и \[\left(\frac{q}{p}\right)^{2} = \frac{4}{9}, \text{ откуда } \frac{q}{p} = \frac{2}{3}.\]
Переход \(3 \to 0\) — это спуск на три единицы, поэтому \[\mathrm{P}(3 \to 0) = \left(\frac{q}{p}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27} \approx 0{,}296.\]
Ответ: \(\frac{8}{27} \approx 0{,}296\).
Муха ползёт по координатной плоскости, стартовав из точки \((0;\ 3)\): из каждой точки с целыми координатами она с вероятностью \(p\) ползёт на единицу вверх, а с вероятностью \(q = 1 - p\) — на единицу вправо. Вероятность \(p\) такова, что прямой \(y = x + 1\) муха достигает с вероятностью \(\frac{4}{9}\). Надо найти вероятность того, что муха рано или поздно достигнет прямой \(y = x\).
Следить будем не за самими координатами, а за их разностью \(D = y - x\). Шаг вверх увеличивает \(y\) на 1, а значит, увеличивает \(D\) на 1; шаг вправо увеличивает \(x\) на 1, а значит, уменьшает \(D\) на 1. Других шагов у мухи нет, поэтому величина \(D\) — состояние простого одномерного случайного блуждания, у которого подъём случается с вероятностью \(p\), а спуск — с вероятностью \(q\). В точке \((0;\ 3)\) имеем \(D = 3 - 0 = 3\): это начальное состояние.
Муха оказывается на прямой \(y = x + 1\) ровно тогда, когда \(D = 1\), и на прямой \(y = x\) ровно тогда, когда \(D = 0\). Значит, речь идёт о переходах \(3 \to 1\) и \(3 \to 0\), то есть о спуске на две и на три единицы.
Переход вниз на \(k\) единиц достоверен при \(p \leqslant \frac{1}{2}\), а при \(p > \frac{1}{2}\) его вероятность равна \(\left(\frac{q}{p}\right)^{k}\). По условию вероятность перехода \(3 \to 1\) равна \(\frac{4}{9}\), то есть меньше единицы, поэтому \(p > \frac{1}{2}\) и
\[\left(\frac{q}{p}\right)^{2} = \frac{4}{9}, \text{ откуда } \frac{q}{p} = \frac{2}{3}.\]
Переход \(3 \to 0\) — это спуск на три единицы, поэтому
\[\mathrm{P}(3 \to 0) = \left(\frac{q}{p}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27} \approx 0{,}296.\]
Ответ: \(\frac{8}{27} \approx 0{,}296\).
